Problem C. 1114. (February 2012)

C. 1114. Solve the equation log₂log₃x=log₃log₂x.

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kikötések: \(\displaystyle x>0\), a logaritmus miatt; \(\displaystyle x>1\) a logaritmusba ágyazott logaritmus miatt.

Az egyenlet jobb oldalát új alapra hozzuk:

\(\displaystyle log_2log_3x=(log_2log_2x)/(log_23).\)

Mivel \(\displaystyle log_23\) egy konkrét szám, ezért az egyszerűség kedvéért jelöljük \(\displaystyle z\)-vel.

Az egyenlet mindkét oldalát \(\displaystyle z\)-vel beszorozva:

\(\displaystyle z\cdot log_2log_3x=log_2log_2x,\)

\(\displaystyle log_2(log_3x)^z=log_2log_2x.\)

A logaritmusfüggvény monotonitása miatt: \(\displaystyle (log_3x)^z=log_2x\).

Az egyenlet jobb oldalát ismét új nevezőre hozzuk: \(\displaystyle (log_3x)^z=log_3x/log_32\) .

\(\displaystyle log_32\) pontosan \(\displaystyle 1/z\)-vel egyenlő, ezért:

\(\displaystyle (log_3x)^z=z\cdot log_3x,\)

\(\displaystyle (log_3x)^z-z\cdot log_3x=0.\)

Kiemelve \(\displaystyle log_3x\)-et: \(\displaystyle log_3x[(log_3x)^{z-1}-z]=0\).

Két megoldás lehetséges:

1. eset: \(\displaystyle log_3x=0\), de ez a kikötés miatt nem megoldás.

2. eset: \(\displaystyle (log_3x)^{z-1}=z\).

\(\displaystyle (z-1)\)-edik gyököt vonva:

\(\displaystyle log_3x=\root{z-1}\of{z}.\)

Ebből pedig a logaritmus definíciója miatt:

\(\displaystyle x=3^{\root{z-1}\of{z}}=3^{\root{(log_23-1)}\of{log_23}}\approx11,181\).

Vesztergombi Tamás (Szekszárd, Garay János Gimn., 12. o. t.)

Statistics:

137 students sent a solution.
5 points:	Adrián Patrik, Bingler Arnold, Dénes András, Enyedi Péter, Fehér Zsuzsanna, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Horváth 424 Orsolya, Kecskeméti Enikő, Kedves Máté, Lőrinczy Zsófia Noémi, Lucskai Gábor, Móricz Tamás, Nagy Zsuzsika, Németh Klára Anna, Onódi Péter, Patkó Richárd, Paulovics Zoltán, Rácz 413 Bence, Szabó 555 Marianna, Tóth Endre, Ujhelyi Viktor, Varga 149 Imre Károly, Varga Zoltán Attila, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás, Vető Bálint.
4 points:	60 students.
3 points:	18 students.
2 points:	7 students.
1 point:	11 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012