Problem C. 1116. (March 2012)

C. 1116. Each side of a convex quadrilateral is divided into eight equal parts. Each dividing point is connected to the corresponding dividing point on the opposite side, as shown in the figure. The small quadrilaterals obtained in this way are coloured black and white in a chessboard pattern. Prove that the total area of the black quadrilaterals equals the total area of the white quadrilaterals.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy ha egy konvex négyszöget a középvonalaival négy részre osztunk, akkor a két-két átellenes kis négyszögek területösszege megegyezik. Használjuk az ábra jelöléseit (\(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) oldalfelező pontok).

\(\displaystyle EH\) középvonala az \(\displaystyle ABD\) háromszögnek, ezért párhuzamos és fel olyan hosszú, mint \(\displaystyle BD\) átló, továbbá \(\displaystyle AEH\) háromszög területe az \(\displaystyle ABD\) háromszög területének negyede. Ugyanezek elmondhatóak \(\displaystyle FG\)-ről: párhuzamos és fele olyan hosszú, mint \(\displaystyle BD\), továbbá \(\displaystyle FCG\) háromszög területe a \(\displaystyle BCD\) háromszög területének negyede. Ebből következik, hogy \(\displaystyle EFGH\) paralelogramma, melyet az \(\displaystyle EG\) és \(\displaystyle FH\) átlók négy egyenlő területű háromszögre bontanak, továbbá \(\displaystyle AEH\) és \(\displaystyle FCG\) háromszögek területének összege az \(\displaystyle ABCD\) területének negyede. Ugyanez áll a másik "sarkokra" is, azaz \(\displaystyle EBF\) és \(\displaystyle GDH\) háromszögek területének összege az eredeti konvex négyszög területének negyede. Ez azt is jelenti, hogy \(\displaystyle t_{AEOH}+t_{OFCG}=t_{OEBF}+t_{DHOG}=t_{ABCD}/2\).

Ha a feladatbeli csámpás sakktáblát ilyen \(\displaystyle 2\times 2\)-es részekre osztjuk, akkor ezekben teljesül, hogy a két fehér és a két fekete négyzet területének az összege megegyezik, így a területeket megfelelően összeadva a teljes "sakktábllára" is teljesül.

Statistics:

133 students sent a solution.
5 points:	Almási Péter, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bodnár Patrícia, Csilling Tamás, Déri Tamás, Farkas Dóra, Gema Barnabás, Gyurcsik Dóra, Halász Ágnes, Holczer András, Kátay Tamás, Katona 100 Bálint, Kecskeméti Enikő, Kószó 94 Eszter, Kozma Luca, Madarasi Adrienn, Márki Gabriella, Mócsy Márk, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy Zsuzsika, Nagy-György Pál, Németh Klára Anna, Pacheco Ana Esther, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Qian Lívia, Rácz 413 Bence, Samu Viktor, Sipos 320 László, Straubinger Dániel, Szilágyi Krisztina, Szoboszlai László, Tóth 120 Krisztián, Tóth Zsófia, Varga 911 Szabolcs, Vargha Sára, Végh Dávid András, Velkey Géza, Vető Bálint.
4 points:	77 students.
3 points:	5 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012