Problem C. 1126. (May 2012)
C. 1126. AB is a diameter of a circle of radius 30 cm centred at O1. This circle is touched from the inside by two other circles: at point A by a circle of radius 15 cm centred at O2, and at point B by a circle of radius 10 cm centred at O3. What is the radius of the circles that touch all three of these circles?
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Négy ilyen kör van.
Ebből kettőnek a középpontja az \(\displaystyle AB\) szakaszon van.
A \(\displaystyle C\) középpontú, piros kör sugara az \(\displaystyle O_1B\) szakasz fele, vagyis 15 cm. A \(\displaystyle D\) középpontú, kék kör átmérője \(\displaystyle 60-20=40\), így sugara 20 cm.
A másik két kör az \(\displaystyle AB\) egyenesére szimmetrikusan helyezkedik el. Elég az egyiket vizsgálni.
Készítsünk ábrát. Legyen a kör középpontja \(\displaystyle K\), a \(\displaystyle K\)-ból az \(\displaystyle O_1O_3\) szakaszra állított merőleges talppontja \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle O_1M\) szakasz hossza pedig \(\displaystyle x\).
Írjunk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle O_2MK\), az \(\displaystyle O_1MK\) és az \(\displaystyle MO_3K\) háromszögekre.
\(\displaystyle (15+x)^2+m^2=(r+15)^2,\)
\(\displaystyle x^2+m^2=(30-r)^2,\)
\(\displaystyle (20-x)^2+m^2=(r+10)^2.\)
A második egyenletet a másik kettőből kivonva, majd rendezve a kapott két egyenletet:
\(\displaystyle x=3r-30,\)
\(\displaystyle x=-2r+30.\)
Innen \(\displaystyle r=12\) cm (és \(\displaystyle x=6\) cm).
Statistics:
112 students sent a solution. 5 points: Almási Péter, Buttinger Milán, Csibi Levente, Déri Tamás, Fehér Zsuzsanna, Fekete Panna, Gnandt Balázs, Gyurcsik Dóra, Holczer András, Károly Péter Balázs, Katona 100 Bálint, Mezősi Máté, Mócsy Márk, Móricz Tamás, Németh Klára Anna, Pacheco Ana Esther, Papp Gergely, Prokaj Dániel, Qian Lívia, Rácz 413 Bence, Sándor Krisztián, Sárvári Péter, Simkó Irén, Soós Tamás Sándor, Straubinger Dániel, Szaksz Bence, Tamás Kristóf, Temesvári Fanni, Tilk Bence, Tóth 120 Krisztián, Trócsányi Péter, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás. 4 points: 59 students. 3 points: 9 students. 2 points: 6 students. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012