Problem C. 1129. (May 2012)

C. 1129. The tangents drawn from a certain point to the parabola 2y=x²-2 are also tangent to the parabola 4y=x²-10x+37. Find the point.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Érintse a keresett P ponton átmenő y=mx+a egyenletű egyenes mindkét parabolát.

Az első parabola: 2y=x²-2. Ezt pontosan akkor érinti az y=mx+a egyenes, ha a 0=x²-2mx-(2a+2) egyenlet diszkriminánsa 0: 4m²+8a+8=0, amiből $a=\frac{-m^2}{2}-1$ .

A második parabola: 4y=x²-10x+37. Most a 0=x²-(10+4m)x+(37-4a) egyenlet diszkriminánsa kell, hogy 0 legyen:

$0=16m^2+80m+16a-48=16m^2+80m+16(\frac{-m^2}{2}-1)-48=8m^2+80m-64.$

Innen $m=-5\pm\sqrt{33}$ .

Most már felírható a két egyenes egyenlete:

$y=(-5+\sqrt{33})x+(-30+5\sqrt{33}),$

$y=(-5-\sqrt{33})x+(-30-5\sqrt{33}).$

Az egyenletrendszer megoldása: x=-5, y=-5. Tehát a keresett P pont koordinátái: P(-5;-5).

Statistics:

81 students sent a solution.

5 points: 52 students.

4 points: 5 students.

3 points: 5 students.

2 points: 6 students.

1 point: 8 students.

0 point: 3 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012

81 students sent a solution.
5 points:	52 students.
4 points:	5 students.
3 points:	5 students.
2 points:	6 students.
1 point:	8 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?