Problem C. 1131. (September 2012)

C. 1131. ABCD is a convex quadrilateral. Prove that if and the angles at A and B are acute angles then AC²+BD²=AD²+BC²+2^.AB^.CD.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk ábrát. Legyen a D-ből, illetve C-ből az AB oldalra állított merőleges talppontja rendre T_D és T_C.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az ADT_D, a BCT_C, az ACT_C, végül a BDT_D derékszögű háromszögekre:

AD²=x²+m²,

BC²=y²+m²,

AC²=m²+(x+a)²,

BD²=m²+(a+y)².

Ezeket, valamint AB=(x+a+y)-t és CD=a-t behelyettesítve a bizonyítandó állítás a következőképpen néz ki:

m²+(x+a)²+m²+(a+y)²=x²+m²+y²+m²+2^.(x+a+y)^.a.

Ez pedig azonosság.

Statistics:

369 students sent a solution.
5 points:	362 students.
4 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012