Problem C. 1136. (October 2012)
C. 1136. M is the orthocentre of triangle ABC, F is the midpoint of side AB, and T is the foot of the altitude drawn from vertex A. Given that MF=4, TM=5, TF=6, construct the triangle ABC.
(5 pont)
Deadline expired on November 12, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Készítsünk ábrát, majd az alapján tervezzük meg a szerkesztés lépéseit.
1.) Az \(\displaystyle MTF\) háromszög egyértelműen megszerkeszthető a három oldalából.
2.) Húzzuk meg az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle T\) pontokat összekötő egyenest (jelöljük \(\displaystyle e\)-vel), ennek eleme az \(\displaystyle A\) csúcs.
3.) Az \(\displaystyle e\) egyenest tükrözzük az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontjára, a kapott \(\displaystyle e'\) egyenes átmegy az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle F\)-re vonatkozó tükörképén, vagyis \(\displaystyle B\)-n.
4.) Állítsunk merőlegest a \(\displaystyle T\) pontban az \(\displaystyle e\) egyenesre (jelölje \(\displaystyle f\)), ez szintén átmegy a \(\displaystyle B\) csúcson.
5.) \(\displaystyle e'\) és \(\displaystyle f\) metszéspontjaként kapjuk \(\displaystyle B\)-t.
6.) \(\displaystyle B\)-t az \(\displaystyle F\) pontra tükrözve kapjuk \(\displaystyle A\)-t.
7.) Tudjuk, hogy a \(\displaystyle C\)-ből húzott magasság merőleges \(\displaystyle AB\)-re. Rajzoljuk meg tehát az \(\displaystyle MF\) szakasz Thalész-körét.
8.) A kör és az \(\displaystyle AB\) szakasz egyik közös pontja \(\displaystyle F\), a másik pedig a \(\displaystyle C\)-ből húzott magasság \(\displaystyle S\) talppontja.
9.) Az \(\displaystyle SM\) félegyenes és a \(\displaystyle BC\) félegyenes metszéspontja \(\displaystyle C\).
Ezzel a háromszög mindhárom csúcsát megkaptuk.
Statistics:
335 students sent a solution. 5 points: 91 students. 4 points: 144 students. 3 points: 67 students. 2 points: 7 students. 1 point: 17 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012