Problem C. 1144. (November 2012)

C. 1144. Find the largest possible value of S=x²y+2x+3+2y+xy², given that x²+y²=2.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk át a kifejezést:

\(\displaystyle S=x^2y+2x+3+2y+xy^2=xy(x+y)+2(x+y)+3=(xy+2)(x+y)+3.\)

Ha \(\displaystyle x\) vagy \(\displaystyle y\) negatív, akkor az ellentettjét véve, nagyobb \(\displaystyle S\) értéket kapunk. Így elég csak nemnegatív számokra vizsgálni a kifejezést.

Fejezzük ki \(\displaystyle x^2+y^2=2\) felhasználásával \(\displaystyle x+y\)-t az \(\displaystyle xy\) segítségével:

\(\displaystyle x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=2,\)

\(\displaystyle (x+y)^2=2+2xy,\)

\(\displaystyle x+y=\sqrt{2+2xy}.\)

Ekkor \(\displaystyle S=\sqrt{2+2xy}\cdot(xy+2)+3.\) Látható, hogy \(\displaystyle S\) akkor a legnagyobb, ha \(\displaystyle xy\) a legnagyobb.

A mértani és a négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség szerint:

\(\displaystyle \sqrt{xy}\leq\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\sqrt{\frac22}=1,\)

így \(\displaystyle xy\leq1\), és pontosan akkor egyenlő 1-gyel, ha \(\displaystyle x=y=1\).

Ekkor \(\displaystyle S=(1\cdot1+2)(1+1)+3=9\).

Statistics:

217 students sent a solution.
5 points:	Balog Gergely, Cseh Kristóf, Demeter Dániel, Dobos Nóra, Farkas Dóra, Gyurcsik Dóra, Holczer András, Horváth 016 Gábor, Horváth 424 Orsolya, Katona 100 Bálint, Kocsis Gábor, Kosztolányi Kata, Kovács 972 Márton, Kovács-Deák Máté, Lajkó Kálmán, Máté Bálint, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Ádám, Nagy Zoltán, Németh 017 András, Németh Klára Anna, Osváth Tibor Attila, Papp Zsófia, Porupsánszki István, Radnai Bálint, Schrettner Bálint, Straubinger Dániel, Szabó Péter, Szilágyi Krisztina, Szkalisity Ábel, Szőke Tamás, Temesvári Fanni, Tóth Adrián, Varga 149 Imre Károly, Varga Rudolf, Várkonyi Lídia, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada, Zsakó Ágnes, Zsiros Ádám.
4 points:	61 students.
3 points:	22 students.
2 points:	22 students.
1 point:	47 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012