Problem C. 1167. (April 2013)
C. 1167. The line segments AA1, BB1, CC1 are the angle bisectors of a triangle ABC. Through the endpoint of the bisector of each angle, draw parallels to the lines forming the angle. Consider the segments of these six lines that lie in the interior of the triangle. Prove that the sum of their lengths cannot be longer than the perimeter of the triangle.
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelölje a \(\displaystyle C_1\)-en át húzott párhuzamosok és az oldalak metszéspontját \(\displaystyle B_C\), illetve \(\displaystyle A_C\), a másik négy metszéspontot is értelemszerűen \(\displaystyle A_B\), \(\displaystyle C_B\), \(\displaystyle B_A\) és \(\displaystyle C_A\).
Tekintsük először a \(\displaystyle C_1A_C\) és \(\displaystyle C_1B_C\) szakaszokat.
Mivel \(\displaystyle C_1B_C||BC\), azért az \(\displaystyle AC_1B_C\triangle\sim ABC\triangle\), és így \(\displaystyle \frac{C_1B_C}{BC}=\frac{AC_1}{AB}\), amiből
| \(\displaystyle C_1B_C=\frac{AC_1\cdot BC}{AB}.\) | (1) |
A szögfelező-tétel szerint \(\displaystyle \frac{C_1B}{C_1A}=\frac{BC}{AC}\). Mindkét oldalhoz 1-et adva: \(\displaystyle \frac{C_1B+C_1A}{C_1A}=\frac{BC+AC}{AC}\), vagyis \(\displaystyle \frac{AB}{C_1A}=\frac{BC+AC}{AC}\), amiből \(\displaystyle C_1A=\frac{AB\cdot AC}{AC+BC}\). Ezt (1)-be beírva:
\(\displaystyle C_1B_C=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB(AC+BC)}=\frac{AC\cdot BC}{AC+BC}.\)
Hasonlóan \(\displaystyle C_1A_C=\frac{AC\cdot BC}{AC+BC}\).
Ugyanígy \(\displaystyle B_1A_B=B_1C_B=\frac{AB\cdot BC}{AB+BC}\) és \(\displaystyle A_1B_A=A_1C_A=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}\).
Így a szakaszok összegét a számtani és a harmonikus közepek közötti egyenlőtlenség felhasználásával becsülhetjük:
\(\displaystyle C_1B_C+C_1A_C+B_1A_B+B_1C_B+A_1B_A+A_1C_A=\frac{2AC\cdot BC}{AC+BC}+\frac{2AB\cdot BC}{AB+BC}+\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}=\)
\(\displaystyle =\frac{2}{\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}}+\frac{2}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}}+\frac{2}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}}\leq \frac{AC+BC}{2}+\frac{AB+BC}{2}+\frac{AB+AC}{2}=AB+BC+AC,\)
amit bizonyítani kellett. (Egyenlőség szabályos háromszög esetén jön létre.)
Statistics:
76 students sent a solution. 5 points: 52 students. 4 points: 8 students. 3 points: 4 students. 2 points: 2 students. 1 point: 5 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013