Problem C. 1175. (September 2013)

C. 1175. Define the operation $\therefore$ as follows on the set of real numbers: $a\therefore b=(a-2)(b-2)$ . Is this operation associative?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás: Nézzük az $\displaystyle (a\therefore b)\therefore c$ és az $\displaystyle a\therefore (b\therefore c)$ kifejezéseket. A művelet definíciója szerint ezek így írhatók:

$\displaystyle (a\therefore b)\therefore c=[(a-2)(b-2)-2]\cdot(c-2)=$

$\displaystyle =[ab-2a-2b+2](c-2)=abc-2ac-2bc+2c-2ab+4a+4b-4;$

$\displaystyle a\therefore (b\therefore c)=(a-2)\cdot[(b-2)(c-2)-2]=$

$\displaystyle =(a-2)[bc-2b-2c+2]=abc-2ac-2bc+4c-2ab+2a+4b-4.$

Látható, hogy a két kifejezés nem azonos, csak $\displaystyle a=c$ esetén igaz az egyenlőség. Vagyis a $\displaystyle \therefore$ műveletet nem asszociatív.

2. megoldás: Ha találunk olyan $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számhármast, melyre nem teljesül, hogy $\displaystyle (a\therefore b)\therefore c=a\therefore (b\therefore c)$, akkor a művelet nem asszociatív.

Tekintsük az $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=2$, $\displaystyle c=3$ esetet:

$\displaystyle (1\therefore 2)\therefore 3=((1-2)(2-2))\therefore 3=0\therefore 3=(0-2)(3-2)=-2,$

$\displaystyle 1\therefore (2\therefore 3)=1\therefore ((2-2)(3-2))=1\therefore 0=(1-2)(0-2)=2.$

Mivel $\displaystyle -2\neq2$, ezért a művelet nem asszociatív.

Statistics:

209 students sent a solution.

5 points: 124 students.

4 points: 13 students.

3 points: 3 students.

2 points: 5 students.

1 point: 39 students.

0 point: 20 students.

Unfair, not evaluated: 5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013

209 students sent a solution.
5 points:	124 students.
4 points:	13 students.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	39 students.
0 point:	20 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?