Problem C. 1181. (September 2013)

C. 1181. Prove that (sin +1)(cos +1)<3 for all angles .

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle (\sin x+1)( \cos x +1)=\sin x\cos x +\sin x+\cos x+1\), ami pontosan akkor kisebb 3-nál, ha \(\displaystyle \sin x\cos x +\sin x+\cos x<2\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle \sin x\cos x=\frac12\sin2x\leq\frac12\cdot1=\frac12\). Azt is tudjuk, hogy \(\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{2}\leq\frac{|\sin x|+|\cos x|}{2}\leq\sqrt{\frac{|\sin x|^2+|\cos x|^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}\). Ezek alapján \(\displaystyle \sin x\cos x +\sin x+\cos x\leq\frac12+\frac{2}{\sqrt2}\approx1,91<2\).

Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:	Bálint Karola, Balogh Sebestyén, Belényesi Máté, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Csikós Endre, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Ficsor Enikő, Gnandt Balázs, Hári Krisztina, Hegel Patrik, Hegyesi János Géza, Jójárt Alexandra, Juhász Gellért, Kácsor Szabolcs, Kovács 628 Márton, Kovács 972 Márton, Krisztián Jonatán, Máté Bálint, Németh Klára Anna, Nguyen Anh Tuan, Nyíri Tamás, Orbán Szandra, Pammer Tamás, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Putti Krisztián, Qian Lívia, Rápolti Kitti, Szabó 524 Tímea, Szerző Ágoston, Sziegl Benedek, Szőke Tamás, Szűcs Dorina, Tari Balázs, Urbán Norbert, Vu Lien Viola, Zsiros Ádám.
4 points:	18 students.
3 points:	11 students.
2 points:	7 students.
1 point:	9 students.
0 point:	23 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013