Problem C. 1192. (November 2013)
C. 1192. It can be checked by substitution that x=1 is a root of the equation . Solve the equation.
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Nézzük az \(\displaystyle \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4\) hozzárendelésű \(\displaystyle f(x)\) függvényt. A függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza. A függvény grafikonjáról alig tudunk valamit, de a hozzárendelési szabályában szereplő műveletek miatt megállapíthatjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartományán.
Tudjuk, hogy \(\displaystyle f(1)=4\). A függvény szigorú monoton növekedése miatt \(\displaystyle 0\leq x<1\) esetén \(\displaystyle f(x)<4\), \(\displaystyle 1<x\) esetén pedig \(\displaystyle f(x)>4\) lesz.
Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az \(\displaystyle x=1\).
Statistics:
167 students sent a solution. 5 points: 127 students. 4 points: 8 students. 2 points: 10 students. 1 point: 7 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013