Problem C. 1222. (March 2014)

C. 1222. The sum of the first four terms of a geometric progression is 15.6, and the sum of their reciprocals is 12.48. What are these four numbers if the first term is 0.1?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a sorozat hányadosát \(\displaystyle q\). Ekkor tudjuk, hogy \(\displaystyle 0,1+0,1q+0,1q^2+0,1q^3=15,6\), vagyis \(\displaystyle 0,1(1+q+q^2+q^3)=15,6\), amiből

\(\displaystyle 1+q+q^2+q^3=156.\)

A reciprokok összegét is felírhatjuk: \(\displaystyle 10+\frac{10}{q}+\frac{10}{q^2}+\frac{10}{q^3}=12,48\), vagyis \(\displaystyle 10\cdot\frac{q^3+q^2+q+1}{q^3}=12,48\). A számlálóba beírva a fent kapott eredményt:

\(\displaystyle 10\cdot\frac{156}{q^3}=12,48,\)

amiből \(\displaystyle q^3=125\), vagyis \(\displaystyle q=5\).

Vagyis a sorozat első négy eleme: \(\displaystyle a_1=0,1\), \(\displaystyle a_2=0,5\), \(\displaystyle a_3=2,5\) és \(\displaystyle a_4=12,5\).

Statistics:

51 students sent a solution.
5 points:	Bajnok Anna, Beke 997 Tamás, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Bögös Dániel, Chourfi Abdel Karim, Dányi Gábor, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Erdei Ákos, Farkas Bence, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gnandt Balázs, Hári Krisztina, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kácsor Szabolcs, Kenderes Anett, Kovács 599 Bálint, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Magyar Nándor Dávid, Mályusz Dominika, Nguyen Anh Tuan, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Schefler Barna, Somogyi Zoltán, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szvetnik Ákos, Tekeli Miklós, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tóth Zsófia, Várkonyi Ádám, Zhorela Viktor, Zsiros Ádám.
4 points:	Hajnal 713 Roland, Mészáros Gabriella, Nagy Dávid, Rimóczi Alma, Szűcs Miklós.
3 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014