Problem C. 1233. (May 2014)

C. 1233. Solve the equation \(\displaystyle 17 \big(x^2+y^2\big)-32xy=41\) on the set of integers.

J. Simon, Csíkszereda

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát:

\(\displaystyle 17(x^2+y^2)-32xy=(4x-4y)^2+x^2+y^2=41.\)

Mivel \(\displaystyle (4x-4y)^2=4^2(x-y)^2\), így \(\displaystyle 16|(4x-4y)^2\). Ha \(\displaystyle 4x-4y=0\), akkor \(\displaystyle x=y\), és \(\displaystyle 2x^2=41\), ami nem ad egész megoldást. Mivel \(\displaystyle 32^2>41\), így csak \(\displaystyle (4x-4y)^2=16\) lehetséges. Ekkor \(\displaystyle 4x-4y=\pm4\), ahonnan \(\displaystyle x-y=\pm1\). Másrészt \(\displaystyle x^2+y^2=41-16=25=0^2+(\pm5)^2=(\pm3)^2+(\pm4)^2\), más felbontás nem lehetséges az egész számok körében.

I. eset. \(\displaystyle x-y=1\), ekkor \(\displaystyle x=y+1\), a fentiek tükrében a megoldások \(\displaystyle x_1=4\), \(\displaystyle y_1=3\) és \(\displaystyle x_2=-3\), \(\displaystyle y_2=-4\).

II. eset. \(\displaystyle x-y=-1\), ekkor \(\displaystyle x=y-1\), a megoldások pedig \(\displaystyle x_3=3\), \(\displaystyle y_3=4\) és \(\displaystyle x_4=-4\), \(\displaystyle y_4=-3\).

2. megoldás (vázlat). Az egyenlet másodfokú pl. \(\displaystyle x\)-re nézve. A diszkrimináns nem lehet negatív, ezt megvizsgálva \(\displaystyle y^2\)-re öt lehetséges érték adódik, melyek közül két esetben lesz a diszkrimináns négyzetszám (ez szükséges ahhoz, hogy \(\displaystyle x\) értéke egész legyen). A kapott \(\displaystyle y\) értékeket behelyettesítve a megoldóképletbe kapjuk a megoldásokat.

Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:	Árvai Balázs, Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Brányi Balázs, Chourfi Abdel Karim, Denke Dorottya, Döbröntei Dávid Bence, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Gáspár Attila, Hegel Patrik, Kasó Ferenc, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kovács Péter Tamás, Krisztián Jonatán, Liptai Dóra, Mihálykó Péter, Mikulás Zsófia, Nagy 102 Kinga, Németh 123 Balázs, Novák Márk, Pap-Takács Mónika, Papp 535 Ágnes, Polgár Márton, Porupsánszki István, Radnai Bálint, Regős Krisztina, Szabó 157 Dániel, Szauer Marcell, Szécsi Adél Lilla, Széles Katalin, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Tari Balázs, Várkonyi Dorka, Zsakó Ágnes.
4 points:	24 students.
3 points:	13 students.
2 points:	9 students.
1 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014