Problem C. 1236. (May 2014)

C. 1236. Determine the sum of the radii of the circles centred on the \(\displaystyle y\)-axis that are tangent to the circle of equation \(\displaystyle {(x-5)}^2+ {(y-5)}^2=25\) and to the line of equation \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x+6\).

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle k\) kör sugara 5, középpontja pedig \(\displaystyle K(5;5)\). Az új, \(\displaystyle l\) kör érintse az \(\displaystyle e\) egyenest \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle B\) pontban, középpontja pedig legyen \(\displaystyle L(0;y)\). Az \(\displaystyle LA\) szakasz hossza megegyezik az \(\displaystyle LB\) szakaszéval, ez \(\displaystyle l\) sugara. A \(\displaystyle KL\) távolság megegyezik a \(\displaystyle KB\) és a \(\displaystyle BL\) szakaszok összegével, mivel egymást kívülről érintő körök középpontjainak távolságát sugaraik hosszának összegéből kaphatjuk meg. (A körök nem érinthetik egymást belülről, mert \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle y\) tengelyt érinti, így nem jön létre az \(\displaystyle l\) kör.) Tehát \(\displaystyle KL=KB+BL=KB+LA\). \(\displaystyle KB=5\), \(\displaystyle LA\) pedig pont és egyenes előjeles távolságára vonatkozó képlet (\(\displaystyle \frac{y_1-mx_1-b}{\sqrt{m2+1}}\), ahol \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle y_1\) a pont koordinátái, \(\displaystyle m\)-et és \(\displaystyle b\)-t pedig az egyenlet \(\displaystyle y=mx+b\) alakban történő felírásából kapjuk meg) alapján az egyenes és az \(\displaystyle L\) pont előjeles távolsága: \(\displaystyle \frac{y-\frac43\cdot0-6}{\sqrt{\left(\frac43\right)^2+1}}=\frac{y-6}{\sqrt{\frac{25}{9}}}=\frac{y-6}{\frac53}=\frac{3y-18}{5}\). Ez \(\displaystyle y>6\) esetén pozitív, \(\displaystyle y<6\) esetén negatív, és \(\displaystyle y=6\) esetén lenne 0, ekkor azonban a kör sugara 0 lenne, így ez nem lehet. Tehát két eset van.

Az első esetben \(\displaystyle \frac{3y-18}{5}>0\), így \(\displaystyle KL=5+\frac{3y-18}{5}=\frac{3y+7}{5}\).

A \(\displaystyle KL\) távolságot számolhatjuk a két pont távolságára vonatkozó összefüggésből is: \(\displaystyle KL=\sqrt{(0-5)^2+(y-5)^2}=\sqrt{y^2-10y+50}\). A két egyenlet egyenlő, így \(\displaystyle \frac{3y+7}{5}=\sqrt{y^2-10y+50}\). Az egyenlet jobb oldalán a gyökjel alatt nemnegatív szám állhat. Ez mindig teljesül, hiszen \(\displaystyle y^2-10y+50=(y-5)^2+25\). Hogy az egyenletet négyzetre emelhessük, a bal oldalon is nemnegatív számnak kell állnia, így \(\displaystyle \frac{3y+7}{5}\geq0\), vagyis \(\displaystyle y\geq-\frac73\). A négyzetre emelés után:

\(\displaystyle \left(\frac{3y+7}{5}\right)^2=y^2-10y+50,\)

\(\displaystyle \frac{9y^2+42y+49}{25}=y^2-10y+50,\)

\(\displaystyle 9y^2+42y+49=25y^2-250y+1250,\)

\(\displaystyle 16y^2-292y+1201=0.\)

Másodfokú megoldóképletet alkalmazva:

\(\displaystyle y_{1,2}=\frac {292\pm\sqrt{292^2-4\cdot16\cdot1201}}{2\cdot16}=\frac{292\pm\sqrt{8400}}{32}=\frac{73\pm\sqrt{525}}{8},\)

tehát \(\displaystyle y_1=\frac{73+\sqrt{525}}{8}\) és \(\displaystyle y_2=\frac{73-\sqrt{525}}{8}\). Ebből a sugarak: \(\displaystyle r_1=\frac{3y_1-18}{5}=\frac{3\cdot\frac{73+\sqrt{525}}{8}-18}{5}=\frac{75+3\sqrt{525}}{40}\) és \(\displaystyle r_2=\frac{3y_2-18}{5}=\frac{3\cdot\frac{73-\sqrt{525}}{8}-18}{5}=\frac{75-3\sqrt{525}}{40}\).

Második esetben \(\displaystyle \frac{3y-18}{5}<0\), így a távolság \(\displaystyle -\frac{3y-18}{5}=\frac{18-3y}{5}\), tehát \(\displaystyle KL=5+\frac{18-3y}{5}=\frac{43-3y}{5}\). A \(\displaystyle KL\) távolság az első esethez hasonlóan \(\displaystyle KL=\sqrt{y^2-10y+50}\). A két egyenlet egyenlő, így \(\displaystyle \frac{43-3y}{5}=\sqrt{y^2-10y+50}\). A gyökjel alatt nemnegatív szám állhat (ld. első eset), így az egyenlet négyzetre emeléséhez a bal oldalon is nemnegatív számnak kell állnia, tehát \(\displaystyle \frac{43-3y}{5}\geq0\), vagyis \(\displaystyle y\leq-\frac{43}{3}\). A négyzetre emelés után:

\(\displaystyle \left(\frac{43-3y}{5}\right)^2=y^2-10y+50,\)

\(\displaystyle \frac{9y^2-258y+1849}{25}=y^2-10y+50,\)

\(\displaystyle 9y^2-258y+1849=25y^2-250y+1250,\)

\(\displaystyle 16y^2+8y-599=0.\)

Másodfokú megoldóképletet alkalmazva:

\(\displaystyle y_{3,4}=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot16\cdot(-599)}}{2\cdot16}=\frac{-8\pm\sqrt{38400}}{32}=\frac{-1\pm\sqrt{600}}{4},\)

tehát \(\displaystyle y_3=\frac{-1+\sqrt{600}}{4}\) és \(\displaystyle y_4=\frac{-1-\sqrt{600}}{4}\).

Ebből a sugarak: \(\displaystyle r_3=\frac{18-3y_3}{5}=\frac{18-3\cdot\frac{-1+\sqrt{600}}{4}}{5}=\frac{75-3\sqrt{600}}{20}\) és \(\displaystyle r_4\frac{18-3y_4}{5}=\frac{18-3\cdot\frac{-1-\sqrt{600}}{4}}{5}==\frac{75+3\sqrt{600}}{20}\). Vagyis

\(\displaystyle r_1+r_2+r_3+r_4=\frac{75+3\sqrt{525}}{40}+\frac{75-3\sqrt{525}}{40}+\frac{75-3\sqrt{600}}{20}+\frac{75+3\sqrt{600}}{20}=\)

\(\displaystyle =\frac{75+3\sqrt{525}+75-3\sqrt{525}}{40}+\frac{150-6\sqrt{600}+150+6\sqrt{600}}{40}=\frac{450}{40}=11,25.\)

Tehát a körök sugarainak összege 11,25 egység.

Temesvári Fanni (Budapest, ELTE Radnóti Miklós Gyakorló Gimnázium, 12. évf.)

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Krisztián Jonatán, Nagy 911 Viktória, Porupsánszki István, Sziegl Benedek, Temesvári Fanni.
4 points:	Bereczki Zoltán, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Jójárt Alexandra, Szűcs Dorina.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014