Problem C. 1364. (September 2016)

C. 1364. The citizens of a village were having a vote to elect a mayor. There were two candidates: Charlie and Alex. Participation was remarkable, 90% of the population eligible to vote took part. 128 votes turned out to be invalid. Charlie received 248 more valid votes than Alex. 49% of the whole population eligible to vote voted for Charlie. How many votes did he get?

(German competition problem)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Legyen a falu lakóinak száma \(\displaystyle x\), ekkor Károly \(\displaystyle 0,49x\) szavazatot kapott. Sándor ennél \(\displaystyle 248\)-cal kevesebbet, ami \(\displaystyle 0,49x-248\). Ehhez hozzáadva Károly szavazatait és az érvénytelen \(\displaystyle 128\)-at, megkapjuk az összes szavazatot, ami a lakosok számának \(\displaystyle 90\%\)-a.

\(\displaystyle 0,49x-248+0,49x+128=0,9x,\)

\(\displaystyle 0,98x-120=0,9x,\)

\(\displaystyle 0,08x=120,\)

\(\displaystyle x=1500.\)

Tehát a lakosok száma 1500 és Károly \(\displaystyle 0,49\cdot 1500=735\) szavazatot kapott.

II. megoldás. Jelölje \(\displaystyle K\) a Károlyra, \(\displaystyle S\) a Sándorra leadott érvényes szavazatok számát, \(\displaystyle T\) a teljes lakosság számát, \(\displaystyle E\) pedig az érvénytelen szavazatok számát.

Mivel az érvénytelen szavazatok esetén nem beszélhetünk arról, hogy kire szavaztak, ezért \(\displaystyle K\) egyrészt \(\displaystyle T\) 49%-a, másrészt \(\displaystyle S+248.\)

A többiek száma egyrészt \(\displaystyle T\) \(\displaystyle 51\%\)-a, másrészt a 10% nem szavazók, valamint \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle E\) összege.

Tudjuk, hogy \(\displaystyle E=128\), ezért a fentiek különbségéből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle T\) 8%-a megegyezik 248 és 128 különbségével, ami 120. tehát \(\displaystyle T\) 1%-a 15, vagyis \(\displaystyle T\) 49%-a \(\displaystyle 19\cdot15=735\), ennyien szavaztak Károlyra.

Illés Márton Gábor (Miskolci Herman Ottó Gimnázium, 7. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

289 students sent a solution.
5 points:	250 students.
4 points:	17 students.
2 points:	3 students.
1 point:	6 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016