Problem C. 1366. (September 2016)
C. 1366. The creatures living on asteroid GZs4-26 count in base three. The digits they use are \(\displaystyle \triangle\), \(\displaystyle \square\) and \(\displaystyle \bigcirc\), in some order. Given that \(\displaystyle \square\square\square\cdot \triangle\triangle =\square\bigcirc \triangle\square\triangle\), determine the result of the multiplication \(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot \square\bigcirc\square\triangle\).
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2016.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A hármas számrendszerben mi a 0,1,2 számjegyeket használjuk. Az első szorzásból látszik, hogy a \(\displaystyle \square\) és a \(\displaystyle \triangle\) nem lehet 0, így \(\displaystyle \bigcirc=0\). Másrészt az egyes helyiértéken álló számjegyek szorzata: \(\displaystyle \square\cdot\triangle=\triangle\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle \square = 1\) és \(\displaystyle \triangle = 2\). Így az első szorzat számjegyekkel: \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3 = 10212_3\). Ezt felírva 10-es számrendszerben: \(\displaystyle 13_{10}\cdot8_{10} = 104_{10}\), ami valóban teljesül.
A kérdéses szorzat:
\(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot\square\bigcirc\square\triangle=210_3\cdot 1012_3=21_{10}\cdot 32_{10}=672_{10}=220220_3.\)
Tehát a szorzás eredménye \(\displaystyle 220220_3=\triangle\triangle\bigcirc\triangle\triangle\bigcirc\).
Megjegyzés. A sok pontlevonás az alábbi hiányosságokból adódott:
– enyhén hiányos indoklás;
– nem ellenőrizte a megoldó, hogy \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3\) valóban \(\displaystyle 10212_3\)-vel egyenlő;
– a versenyző belátta, hogy a kör csak a 0-t helyettesítheti, de ezután a maradék két eset közül csak feltételezte a későbbi jó megoldást;
– számolási hiba;
– a versenyző nem válaszolt a feladat kérdésére.
Statistics:
362 students sent a solution. 5 points: 172 students. 4 points: 119 students. 3 points: 39 students. 2 points: 22 students. 1 point: 3 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016