Problem C. 1378. (November 2016)

C. 1378. One of three real numbers is 2 more than the average of the three numbers. How much greater is that number than the average of the other two?

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyen \(\displaystyle x\) a három szám átlaga. Ekkor az egyik szám \(\displaystyle x+2\). A három szám összege \(\displaystyle 3x\), tehát a másik két szám összege \(\displaystyle 3x-(x+2)=2x-2\). Ha az összegük \(\displaystyle 2x-2\), akkor az átlaguk \(\displaystyle x-1\).

Mivel \(\displaystyle (x+2)-(x-1)=3\), ezért 3-mal nagyobb a szám a másik kettő átlagánál.

Baski Bence (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium, 7. évf.)

2. megoldás. Legyen a három valós szám \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\). Legyen a \(\displaystyle c\) szám az, ami 2-vel meghaladja a három szám átlagát:

\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}+2=c.\)

Vegyünk el mindkét oldalból \(\displaystyle \frac c3\)-at:

\(\displaystyle \frac{a+b}{3}+2=\frac{2c}{3}.\)

Szorozzuk mindkét oldalt \(\displaystyle \frac32\)-del:

\(\displaystyle \frac{a+b}{2}+3=c.\)

A \(\displaystyle c\) szám 3-mal nagyobb a másik két szám átlagánál.

Statistics:

250 students sent a solution.
5 points:	215 students.
4 points:	3 students.
3 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	26 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016