Problem C. 1402. (February 2017)

C. 1402. On each side of a square, either a regular triangle or a square of the same side length is drawn, on the outside. Altogether, there are two triangles and two new squares drawn. What is the radius of the smallest possible circle that completely covers the complex figure obtained in this way?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A négyzet oldalhossza legyen \(\displaystyle a\).

1. eset: A két háromszög egymással szemben helyezkedik el (1. ábra).

Ezt az alakzatot teljesen lefedi az \(\displaystyle EH\) átmérőjű, \(\displaystyle r=KE=\frac{EH}{2}\) sugarú kör.

\(\displaystyle IJ=(\sqrt3+1)\cdot a<3a<EH.\)

Mivel \(\displaystyle EH\) az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle 3a\) befogójú \(\displaystyle EGH\) derékszögű háromszög átfogója, így \(\displaystyle EH=a\cdot\sqrt{3^2+1^2}=a\cdot\sqrt{10}\), vagyis a legkisebb, az alakzatot lefedő kör sugara: \(\displaystyle r=a\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}≈1,581a\).

2. eset: A két háromszöget a négyzet szomszédos oldalaira rajzoljuk (2. ábra).

2. ábra

Ekkor \(\displaystyle AC\) az alakzat szimmetria tengelye, a keresett kör \(\displaystyle K\) középpontjának erre kell esnie. Legyen először \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle ABCD\) négyzet középpontjában. Ekkor

\(\displaystyle IK=a\cdot\frac{\sqrt3+1}{2}≈1,366a,\)

\(\displaystyle EK=FK=R_1=a\cdot\frac{\sqrt{10}}{2},≈1,581a.\)

\(\displaystyle IK<EK\), tehát az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) pontok a körön belül vannak.

Jelölje az \(\displaystyle A\) pont merőleges vetületét az \(\displaystyle IJ\) szakaszra \(\displaystyle A’\). Ha a \(\displaystyle K\) pontot eltoljuk a szimmetria tengelyen a \(\displaystyle C\) pont felé, akkor átlépjük az \(\displaystyle EF\) szakasz felező mezőlegesét \(\displaystyle F\) felé, így \(\displaystyle FK<EK\) lesz;, az \(\displaystyle EK\) szakasz hossza csökken, mert a \(\displaystyle CEK\) derékszögű háromszög \(\displaystyle CK\) befogója csökken; az \(\displaystyle IK\) szakasz hossza pedig nő, mert \(\displaystyle A'IK\) háromszög \(\displaystyle A'K\) befogója nő. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle EK\) sugarú kör mindaddig le fogja fedni az alakzatot, míg \(\displaystyle IK≤EK\); és a legkisebb sugár \(\displaystyle IK=EK\) esetén lesz, tehát az \(\displaystyle EIJH\) trapéz körülírt körének sugarát keressük (3. ábra).

3. ábra

A \(\displaystyle CEMK\) négyszög \(\displaystyle EK\) átlóját fogjuk meghatározni: \(\displaystyle EK=r\). Használjuk a 4. ábra jelöléseit és az ábrán feltüntetett ismert szögeket.

4. ábra

Húzzuk be a \(\displaystyle CDK\) háromszög \(\displaystyle CD\) oldalhoz tartozó magasságát. Legyen \(\displaystyle KN=x\). Ekkor a nevezetes szögeket felhasználva, \(\displaystyle CN=x\), \(\displaystyle DK=2x\) és \(\displaystyle DN=x\sqrt3\).

\(\displaystyle DC=DN+CN\), vagyis

\(\displaystyle a=x\sqrt3+x=x(\sqrt3+1).\)

Ebből

\(\displaystyle x=\frac{a}{\sqrt3+1}=a\cdot\frac{\sqrt3-1}{2},\)

\(\displaystyle DK=2x=a(\sqrt3−1).\)

A \(\displaystyle DEM\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle DM=\frac a2\), \(\displaystyle EM=\frac{a\sqrt3}{2}\).

Az \(\displaystyle EKM\) derékszögű háromszögben

\(\displaystyle KM=DK+DM=a\cdot\left(\sqrt3-1+\frac12\right)=a\cdot\frac{2\sqrt3−1}{2}.\)

Alkalmazzuk az \(\displaystyle EKM\) derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tételt:

\(\displaystyle r^2=EM^2+KM^2=\)

\(\displaystyle =a^2\cdot\left(\frac34+\frac{12-4\sqrt3+1}{4}\right)=a^2\cdot\left(\frac{16-4\sqrt3}{4}\right)=a^2\cdot(4-\sqrt3).\)

Tehát a legkisebb olyan kör sugara, ami lefedi az alakzatot:

\(\displaystyle a\sqrt{4-\sqrt3}≈1,506\cdot a.\)

Statistics:

168 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Balog 518 Lóránd, Barta Ákos, Barta Gergely, Baski Bence, Bukor Benedek, Csapó Márton, Debreczeni Tibor, Dobák Dániel, Füredi Erik Benjámin, Hervay Bence, Jánosdeák Márk, Kalabay László, Kocsis Ábel, Kocsmár Martin, Kószó Máté József, Kovács 161 Márton Soma, Mácz Andrea, Markó Gábor, Mester Gyöngyvér, Mészáros 916 Márton, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy Csaba Jenő, Nagy Olivér, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Andrea, Rittgasszer Ákos, Sal Dávid, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Varga 294 Ákos, Vlaszov Artúr, Weisz Máté, Wolff Vilmos.
4 points:	11 students.
3 points:	16 students.
2 points:	11 students.
1 point:	74 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017