Problem C. 1406. (March 2017)

C. 1406. What is the four-digit number \(\displaystyle \overline{abcd}\) if \(\displaystyle a+b=c+d\), \(\displaystyle a+d=c\), \(\displaystyle {2(a+c)}=b+d\), and \(\displaystyle 3\overline{ab}=\overline{cd}\)?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első három összefüggés:

\(\displaystyle a + b = c + d,\)

\(\displaystyle a + d = c,\)

\(\displaystyle 2 (a + c )= b + d.\)

A 2. egyenletből \(\displaystyle c\) értékét beírva a 3. egyenletbe:

\(\displaystyle 2 ( a + a + d ) =b + d.\)

Rendezve:

\(\displaystyle 4a + d = b.\)

Innen b értékét beírva az 1. egyenletbe:

\(\displaystyle a + 4a + d = c + d.\)

Rendezve:

\(\displaystyle 5a=c.\)

Ebből \(\displaystyle c\) értékét beírva a 2. egyenletbe:

\(\displaystyle a + d = 5a.\)

Rendezve:

\(\displaystyle d = 4a.\)

Visszahelyettesítve a \(\displaystyle 4a + d = b\) egyenletbe:

\(\displaystyle b = 8a.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egy négyjegyű szám egyjegyű számjegyei, így \(\displaystyle b = 8a\) miatt csak \(\displaystyle a=1\) lehetséges. Ebből \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\) és \(\displaystyle d=4\) adódik.

Az utolsó összefüggést nem használtuk fel, ellenőrizve: \(\displaystyle 3\cdot18=54\). A másik három egyenlet az ekvivalens átalakítások miatt teljesül.

A kérdéses négyjegyű szám tehát 1854.

Statistics:

166 students sent a solution.
5 points:	112 students.
4 points:	44 students.
3 points:	1 student.
1 point:	7 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017