Problem C. 1410. (March 2017)

C. 1410. Let \(\displaystyle b=\sqrt{a+\sqrt a}\,\), where \(\displaystyle a\) is a positive integer. Prove that \(\displaystyle b\) cannot be an integer.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy \(\displaystyle b\) egész szám. Mivel \(\displaystyle a>0\), így \(\displaystyle b>0\) is teljesül. Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre: \(\displaystyle b^2=a+\sqrt a\). Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b^2\) egész számok, így \(\displaystyle \sqrt a\)-nak is egésznek kell lennie, vagyis \(\displaystyle a\) négyzetszám. Legyen \(\displaystyle \sqrt a=c\), ahol \(\displaystyle c>0\), így \(\displaystyle a=c^2\).

Ezeket beírva az egyenletünkbe: \(\displaystyle b^2=c^2+c\). Látszik, hogy \(\displaystyle c^2<b^2\), viszont \(\displaystyle b^2=c^2+c<c^2+2c+1=(c+1)^2\). Mivel \(\displaystyle c^2\) és \(\displaystyle (c+1)^2\) között nincs négyzetszám, ezért ellentmondásra jutottunk.

Tehát \(\displaystyle b\) nem lehet egész szám.

Dobák Dániel (Budapest V. Kerületi Eötvös József Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

171 students sent a solution.
5 points:	101 students.
4 points:	24 students.
3 points:	10 students.
2 points:	12 students.
1 point:	11 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017