Problem C. 1418. (April 2017)

C. 1418. Six consecutive integers are found to have the following interesting property: the sum of the six numbers is a prime, and the sum of their squares is also a prime. Find all sets of six numbers with this property.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az első számot \(\displaystyle a\), így az egymás követő hat egész szám összege:

\(\displaystyle a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5=6a+15.\)

Ez egyenlő egy \(\displaystyle p\) prímszámmal:

\(\displaystyle 6a+15=p.\)

A baloldali összegből kiemelhetünk hármat:

\(\displaystyle 3(2a+5)=p.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle p\) osztható 3-mal. Az egyetlen 3-mal osztható prímszám a 3, tehát \(\displaystyle 2a+5=1\), amiből \(\displaystyle a=-2\).

Tehát pontosan akkor lesz 6 egymás követő egész szám összege prím, ha ez a 6 szám a \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\). Írjuk fel ennek a 6 számnak a négyzetösszegét, hogy ellenőrizzük, ez is prímszámot ad-e:

\(\displaystyle (-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2=19.\)

A 19 is prímszám, tehát a \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) számok kielégítik a feladat feltételeit, és ez az egyetlen ilyen tulajdonságokkal rendelkező számhatos.

Mácz Andrea (Szekszárdi Garay János Gimn., 12.évf.) dolgozata alapján

Statistics:

41 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Bukovenszki Réka, Bunda Boldizsár, Édes Lili, Kádár Bálint, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Mácz Andrea, Magyar 257 Boglárka, Nagy Enikő, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Simon Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Zsombó István.
4 points:	Czakó Dorina, Kovács 526 Tamás, Perényi Gellért, Sipos Fanni Emma, Szőnyi Laura, Tatai Mihály, Wolff Vilmos.
3 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017