Problem C. 801. (March 2005)
C. 801. There is a rectangle inscribed in the pythagorean triangle whose sides are 3, 4, 5 units long, respectively. The vertices of the rectangle are incident to the sides of the triangle and the ratio of its perpendicular sides is 1:3. Determine the dimensions of the rectangle.
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A téglalapot többféleképpen elhelyezhetjük a háromszögben. Legegyszerűbb eset az, amikor a téglalap oldalai párhuzamosak a háromszög befogóival:
A háromszög csúcsai A, B és C. AC=4, BC=3, AB=5 egység. A téglalap csúcsai C, D, E és F az ábra szerint. Az ABC és AEF derékszögű háromszögek hasonlóságából az első esetben , és innen 12-9x=4x, és .
A második esetben ; és .
A másik lehetőség ez elhelyezésre, amikor a téglalap egyik oldala merőleges az átfogóra:
A keletkezett derékszögű háromszögek mind hasonlók egymáshoz, mert megfelelő szögeik egyenlők. Az első esetben: , ; , ; ezért innen A második esetben: , ; , ; ezért innen .
Statistics:
225 students sent a solution. 5 points: 87 students. 4 points: 73 students. 3 points: 29 students. 2 points: 24 students. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005