Problem C. 808. (April 2005)
C. 808. Solve the equation {3x}2+{x}2=1.
(5 pont)
Deadline expired on May 17, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel az {x} és {3x} függvények periodikusak (1, illetve 1/3 periódussal), ezért elég a 0x<1 intervallumban vizsgálni a megoldásokat. Három esetet különböztetünk meg.
1) 0x<1/3, a függvény (3x)2+x2 alakú. Ekkor a 9x2+x2=1 egyenletből .
2) Ha 1/3x<2/3, akkor a függvény x2+(3x-1)2 alakú. Az x2+9x2-6x+1=1 egyenletből x=3/5.
3) Ha 2/3x<1, akkor (3x-2)2+x2=1, innen , de a két megoldásból csak az egyik eleme az intervallumnak: .
Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.
Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van, minden egész intervallumban három:
Statistics:
139 students sent a solution. 5 points: 67 students. 4 points: 17 students. 3 points: 7 students. 2 points: 28 students. 1 point: 11 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005