Problem C. 813. (May 2005)
C. 813. One side of a rectangle is 10 cm long. How long is the other side if a 10 cm x1 cm rectangle can be just placed in it in a diagonal position?
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje . Ekkor AP=sin , PB=10cos , ezért
10=AP+PB=sin +10cos .
A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el -gyel, ekkor
Jelölje azt a hegyesszöget, amelyre és . Így
sin =cos sin +sin cos =sin (+).
Mivel 0<<+<, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha +(+)=, azaz =-2. Ezzel a téglalap másik oldala
b=cos +10sin =-cos 2+10sin 2=-(2cos2-1)+10.2sin cos =
Statistics:
128 students sent a solution. 5 points: 67 students. 4 points: 26 students. 3 points: 13 students. 2 points: 9 students. 1 point: 3 students. 0 point: 10 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005