Problem C. 817. (September 2005)
C. 817. Having calculated that 62+8=44, Clare noticed that 662+88=4444 was also true. Is it true for every n that ?
(5 pont)
Deadline expired on October 17, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Azt állítjuk, hogy minden pozitív egész n-re igaz. Bizonyítás: teljes indukcióval.
n=1-re igaz. Tételezzük fel, hogy n-re igaz. Bizonyítandó, hogy n+1-re is igaz: . Legyen , . Azt kell bizonyítani, hogy ha (6a)2+8a=4b (1), akkor 6.(10a+1))2+8(10a+1)=4(100b+11). Kis átalakításokat végezve, majd b helyére az (1)-ből következő 9a2+2 kifejezést írva:
36.(10a+1)2+80a+8=400b+44,
9(100a2+2a+1)+20a+2=100b+11,
900a2+200a+11=900a2+200a+11.
Ez azonosság, tehát az állítás teljesül (n+1)-re is. Vagyis minden n-re teljesül.
Statistics:
528 students sent a solution. 5 points: 305 students. 4 points: 11 students. 3 points: 11 students. 2 points: 74 students. 1 point: 42 students. 0 point: 73 students. Unfair, not evaluated: 12 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005