Problem C. 908. (September 2007)
C. 908. A group of ten people went to the cinema. They bought tickets to 5 consecutive seats in each of two different rows. Al and Ben wanted to sit next to each other, while Sue and Ann did not want to sit next to each other. How many different seatings were possible?
(5 pont)
Deadline expired on October 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Számoljuk ki először azoknak az eseteknek a számát, amikor Ábel és Bendegúz egymás mellett ülnek. Tekintsük őket úgy, mintha szétválaszthatatlanok lennének. Ekkor az egyik sorba 4, a másikba 5 ember ül. Hogy melyikben ülnek 4-en, arra 2 lehetőség van. Arra, hogy melyik 3 ember üljön Ábelékkel egy sorban, lehetőség van. Az egyes sorokban a lehetséges sorrendek száma 4!, illetve 5!, és Ábel és Bendegúz egymás között még helyet cserélhetnek.
Ez 2.56.4!.5!.2=645120 lehetőség.
Most számoljuk ki azoknak az eseteknek a számát, amikor Ábeléken kívül még Zsuzsi és Anikó is együtt ül. Tekintsük őket is szétválaszthatatlannak.
Ha a két páros egy sorban ül, akkor a melléjük ülő ember kiválasztására lehetőség van. A két páros és ez az ember 3!.2.2=24 féle módon ülhetnek le a sorukba, hiszen mindkét páros tagjai egymással helyet cserélhetnek. A másik sorban ülő 5 ember 5!-féleképp ülhet egymás mellé. Végül, hogy melyik sorban üljenek a párosok, azt is 2-féleképpen lehet megválasztani.
Ez 6.24.5!.2=34560 lehetőség.
Ha a két páros külön sorban ül, akkor 2-féleképp lehet kiválasztani Ábelék sorát. Ábelékhez még kell választani 3 embert, erre lehetőség van. Mindkét sorban 4! a három ember és a páros lehetséges sorrendjeinek a száma. Mindkét páros tagjai egymással helyet cserélhetnek.
Ez 2.20.4!.4!.2.2=92160.
Azoknak az eseteknek a száma, mikor Ábeléken kívül még Zsuzsi és Anikó is együtt ül 34560+92160=126720.
Tehát 645120-92160=518400 a lehetséges elhelyezkedések száma.
Statistics:
393 students sent a solution. 5 points: 105 students. 4 points: 64 students. 3 points: 49 students. 2 points: 38 students. 1 point: 45 students. 0 point: 58 students. Unfair, not evaluated: 34 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007