Problem C. 912. (October 2007)
C. 912. Is there a right-angled triangle in which the lengths a, b, c of the sides are integers, (a,b,c)=1 and the length of one median is 7.5?
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelölje a és b a két befogót, c pedig az átfogót.
I. eset: az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Ez egyben c/2 is, vagyis ekkor c=15, és így
a2+b2=15.
Mivel 15 oszható 3-mal, ezért a bal oldal is osztható 3-mal. Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, így két négyzetszám összege csak akkor lehet 3-mal oszható, ha mindkét szám oszható 3-mal. Ekkor viszont (a,b,c)1.
II. eset: az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Legyen ez mondjuk a b oldal. Ekkor
ahonnan
(2a)2+b2=152.
A jobb oldal osztható 3-mal, így az előző esethez hasonlóan azt kapjuk, hogy 2a és b is 3-mal oszható, így a és b is, tehát (a,b,c)1.
Nincs ilyen derékszögű háromszög.
Statistics:
392 students sent a solution. 5 points: 199 students. 4 points: 55 students. 3 points: 34 students. 2 points: 27 students. 1 point: 34 students. 0 point: 40 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007