Problem C. 922. (December 2007)
C. 922. Find all integer solutions of the equation x2+12=y4.
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mindkét oldalból x2-et kivonva kapjuk, hogy:
12=y4-x2=(y2)2-x2.
Mivel két szomszédos négyzetszám közötti különbség egyre nő, ahogy az alapok nőnek, ezért egy idő után a szomszédos négyzetszámok közötti különbség nagyobb lesz, mint 12. Ekkor persze a nem szomszédosok közti különbség szintén nagyobb lesz, mint 12. Írjuk fel a négyzetszámokat addig, amíg a szomszédosok különbsége el nem éri a 12-t:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
Az elmondottak miatt a megoldás csak ezek között lehet. Itt pedig csak a 4 és a 16 különbsége 12, tehát y4=16, x2=4 és így a megoldások: x1=2, y1=2; x2=2, y2=-2, x3=-2 y3=2 és x4=-2, y4=-2.
Statistics:
352 students sent a solution. 5 points: 200 students. 4 points: 43 students. 3 points: 43 students. 2 points: 35 students. 1 point: 11 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 12 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007