Problem C. 928. (January 2008)
C. 928. The whole numbers are written down up to a certain number n divisible by 50, and then the multiples of 50 are cancelled. Prove that the sum of the remaining numbers is a perfect square.
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A megmaradt sorozat így néz ki:
1, 2, 3, ..., 47, 48, 49,
1+50, 2+50, 3+50, ..., 47+50, 48+50, 48+50, 49+50,
1+100, 2+100, 3+100, ..., 47+100, 48+100, 48+100, 49+100,...
. Az 50 kimarad, a következő 49 szám mindegyike 50-nel nagyobb, mint az első csoportban levő számok, az utánuk következő 49 szám már 100-zal nagyobb, stb. Ha eredetileg n-ig írtuk fel a számokat, akkor n/50 darab 49 számot tartalmazó csoport van. Legyen k=n/50-1. A fentiek alapján a számok összege, felhasználva a számtani sorozat összegképletét:
Statistics:
256 students sent a solution. 5 points: 202 students. 4 points: 22 students. 3 points: 8 students. 1 point: 5 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 11 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008