Problem C. 962. (November 2008)
C. 962. M is the orthocentre of the isosceles triangle ABC of base AC. Given that AC=BM, find the angles of the triangle.
(5 pont)
Deadline expired on December 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A C-ből induló magasság talppontját jelölje TC, a B-ből indulóét pedig TB.
I. eset: a háromszög hegyesszögű.
TCBM=ABTB=90o-CAB=ACTC. Mivel MTCB=ATCC=90o és AC=BM, így mindezekből következik, hogy az és az egybevágó. Ekkor CTC=BTC és így CBTC=BCTC is fennáll.
Legyen ACTC=. Ekkor MBTC=. Mivel ABC egyenlő szárú, ezért BTB egyben az ABC szögfelezője is, és így ABC=2.
A háromszög szögei: ABC=2, BAC=ACB=ACTC+TCCB=ACTC+TCBC=+2=3. Vagyis 180o=8, ahonnan =22,5o, 2=45o, 3=67,5o.
A háromszög szögei:
ABC=45o, BAC=ACB=67,5o.
II. eset: a háromszög tompaszögű.
Ekkor az AMC háromszögre megismételhető a fenti gondolatmenet, és így ACB==22,5o, CAB=ACB=22,5o, végül ABC=180o-2.22,5o=135o.
III. eset: A háromszög derékszögű. Ez nyilván nem lehetséges, mert ekkor BM=0, ami nem lehet egyenlő AC-vel.
Statistics:
273 students sent a solution. 5 points: Angi Réka, Boros Ágnes, Cserjési Szilárd, Fehér András, Izsó Dániel, Kalocsai Ákos, Lantos Tamás, Mihálka Éva Zsuzsanna, Poócza Eszter, Tokai-Kiss Réka, Veres Flóra, Zsupanek Alexandra. 4 points: 166 students. 3 points: 50 students. 2 points: 6 students. 1 point: 8 students. 0 point: 25 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008