Problem C. 964. (November 2008)

C. 964. In last year's football Champions' League, it happened for the first time ever that four teams of the same country, England (Arsenal, Chelsea, Liverpool and Manchester United), qualified for the best eight. The eight teams were paired up at random, and the winner from each pair qualified for the best four.

a) Some English football supporters wished that the English teams would not be paired together, to make it possible for all four of them to qualify for the semi-finals. What was the probability of such a pairing?

b) Other English supporters wished that the four English teams would form two pairs, to make sure that two of them would qualify for the semi-finals. What was the probability of such a pairing?

c) In reality, two English teams were paired together and the other two teams got non-English opponents. What was the probability of such a pairing?

Suggested by L. Koncz

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: a) Az általánosság megszorítása nélkül megtehetjük, hogy először az Arsenalnak sorsolunk ellenfelet. Annak valószínűsége, hogy ez az ellenfél nem angol lesz $\frac47$ , hiszen a lehetséges 7 ellenfél közül 4 nem angol. Ezek után válasszunk a Chelsea-nek ellenfelet, hasonló meggondolás alapján $\frac35$ annak valószínűsége, hogy a kisorsolt ellenfél nem angol. Ezek után a Liverpoolnak sorsolunk ellenfelet, ez az ellenfél $\frac23$ valószínűséggel nem angol. Ha 3 angol csapat ellenfele nem angol, akkor már a negyedik angol csapatra is teljesül ugyanez. Így annak valószínűsége, hogy minden angol csapat nem angol ellenfelet kap: $p=\frac47\cdot\frac35\cdot\frac23=\frac{8}{35}\approx0,229$ .

b) Ismét először az Arsenalnak sorsoljunk ellenfelet. Annak valószínűsége, hogy ez az ellenfél angol lesz $\frac37$ , hiszen a lehetséges 7 ellenfél közül 3 angol. Ezek után válasszunk egy másik, még megmaradt angol csapatnak ellenfelet, hasonló meggondolás alapján $\frac15$ annak valószínűsége, hogy a kisorsolt ellenfél angol. Ezek után a maradék négy nem angol csapat már tetszőlegesen párosítható. Így annak valószínűsége, hogy minden angol csapat angol ellenfelet kap $p=\frac37\cdot\frac15=\frac{3}{35}\approx0,086$ .

c) Az a, b és c feladatokban említett három esemény teljes eseményrendszert alkot, hiszen közülük bármely sorsolás esetén pontosan az egyik következik be. Így annak valószínűsége, hogy éppen két angol csapatot sorsolnak össze: $p=1-\frac{8}{35}-\frac{3}{35}=\frac{24}{35}\approx0,686$ .

Statistics:

256 students sent a solution.

5 points: 118 students.

4 points: 26 students.

3 points: 26 students.

2 points: 25 students.

1 point: 11 students.

0 point: 46 students.

Unfair, not evaluated: 4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008

256 students sent a solution.
5 points:	118 students.
4 points:	26 students.
3 points:	26 students.
2 points:	25 students.
1 point:	11 students.
0 point:	46 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?