Problem C. 997. (September 2009)

C. 997. Prove that every fourth term of the Fibonacci sequence is divisible by three. (In the Fibonacci sequence, a₁=1, a₂=1 and a_n=a_n-1+a_n-2 for all , n3.)

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bizonyítás teljes indukcióval: \(\displaystyle a_4=3\) ami osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Minden negyedik sorozat-elem sorszáma \(\displaystyle 4\)-gyel osztható, azaz az \(\displaystyle a_{4k}\) tagokról szól a feladat. Tegyük fel, hogy minden \(\displaystyle k<n\)-re \(\displaystyle 3\mid a_{4k}.\)

\(\displaystyle a_{4(n+1)}=a_{4n+3}+a_{4n+2}=a_{4n+2}+a_{4n+1}+a_{4n+2}=2(a_{4n}+a_{4n+1})+a_{4n+1}=2a_{4n}+3a_{4n+1}\)

a sorozat definícióját háromszor alkalmazva. Ezek szerint a következő negyedik tag egy hárommal osztható (az indukciós feltevés szerint) és egy másik háromszorosa összegeként kapható meg, amiből következik, hogy maga is osztható 3-mal.

Statistics:

435 students sent a solution.
5 points:	210 students.
4 points:	72 students.
3 points:	93 students.
2 points:	42 students.
1 point:	12 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009