Problem K. 108. (December 2006)

K. 108. A square patch of grass, 100 m on a side is surrounded by a paved road along its boundary. Most people want to get from corner A of the square to the midpoint F of an opposite side. They walk along the path ABF, but some of them have started a path through the grassy area. They walk along the side AB for a while, then they are heading towards F along a straight line through the grass, as shown in the diagram. Thus they walk 25% less compared to the path along the border. How far is the turning point K of the path from the point A?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje AK hosszát x, ekkor KB=100-x. A Pitagorasz-tétel segítségével felírhatjuk a gyalogutat használók által megtett távolságot: . Ez a mondottak értelmében 25%-kal kevesebb, mint az ABF útvonal hossza, ami 150 m. Ennek megfelelően . Átrendezve és négyzetre emelve (100-x)²+50²=(112,5-x)². A zárójeleket felbontva x² kiesik, a kapott elsőfokú egyenletből x=6,25. Tehát a gyalogút az A ponttól 6,25 m-re indul.

Megjegyzés: Néhányan csodálkozhatnak, hogy miért nem rögtön az A pontból indul el az átvágás, miért kell az AB oldal mentén haladni még egy kicsit. A feladat az életből vett példa, az ELTE (Eötvös Loránd Tudományegyetem) matematika és fizika épülete közti téren valamilyen furcsa oknál fogva a feladatban megadott módon alakult ki az átlós gyalogút. A mellékelt fényképfelvételen ez látható.

Statistics:

156 students sent a solution.
6 points:	88 students.
5 points:	42 students.
4 points:	8 students.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	7 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006