Problem K. 172. (September 2008)

K. 172. Write the whole numbers 1 to 19 in the fields of the ``Latin hexagon'' shown in the Figure so that the sum of the numbers is the same in each column and along each diagonal row of adjacent small hexagons touching each other along a common side (whether it contains three or four of them). Find all possible solutions.

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel öt oszlop van a bűvös hatszögben, ezért ha az összes beírt számot összeadjuk, akkor az egy oszlopban levő számok összegének ötszörösét kapjuk. 1-től 19-ig a számok összege pl. a Gauss-módszerrel számolva , ennek ötödrésze 38. Tehát minden oszlopban, illetve átlós sorban a számok összege 38. Ezt felhasználva abban az oszlopban vagy átlós sorban, ahol csak egy szám hiányzik, a hiányzó szám kiszámítható. Ennek segítségével az alábbi ábráig juthatunk el:

A 9-es mellé két olyan számot kell írnunk, melyek összege 29. Ez csak 19+10, 18+11, 17+12, 16+13, 14+15 számok összegeként áll elő, de ezek közül a 14+15 kivételével minden összeg egyik tagja már be lett írva a hatszögbe. A 14 és a 15 kétféle sorrendben kerülhet a 9 mellé. Ha a 14 kerülne a 10 oszlopába, akkor oda még egy 14-est kellene írnunk, de ez nem lehetséges, így a 15 kerül a 10 oszlopába, a 14 pedig a 9 mellé. Innen már a korábban említett elvet követve a hatszög kitölthető a feltételeknek megfelelően. Egy lehetséges kitöltési sorrendet mutatunk be az ábrán, a nagybetűkkel jelzett mezőkön a betűk ABC sorrendjében haladva. Az egyetlen helyes megoldást a második ábra mutatja.

Statistics:

216 students sent a solution.
6 points:	Aleksziev Péter, Benedek Zsófia, Budavári Ruben Pál, Fazekas Gábor László, Félegyházi Dávid, Gróf Gábor, Halász 423 Dániel, Halász Dániel, Herczeg 024 Judit, Juhász-Bóka Bernadett, Koltai-Kiss Borbála, Konkoly 002 Csaba, Kovács Flóra, Kovács Péter, Kovalcsik Anna, Könye Viktor, Kővágó Zoltán, Kurdi Gabriella, Laczkó Zoltán Balázs, Lencz András, Limbay Bence, Ludas Dániel, Madarasi Adrienn, Márki Gabriella, Nagy Olivér, Nánási József, Reskó Sándor, Samu Viktor, Sándor Tímea, Sápi András, Solti Bálint, Stark Ádám, Szelestei Zsófia, Tarjáni Ariella Janka, Tolnai Dániel, Vámi Tamás Álmos, Veres Andrea, Wiszt Attila, Zagyva Dániel.
5 points:	17 students.
4 points:	23 students.
3 points:	57 students.
2 points:	65 students.
1 point:	2 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008