Problem K. 180. (October 2008)

K. 180. The numbers 1 to 9 are written in a 3×3 table in some order. The six three-digit numbers obtained by reading the rows left to right and the columns top to bottom are all added. What are the two smallest possible sums obtained in this way? For example, in the arrangement shown by the Figure, the sum obtained is 531+296+748+527+394+168=2664.

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk be a táblázat mezőibe, hogy az egyes cellákban álló számok hányszorosan fognak számítani a kiszámított összegben!. Ezt úgy kapjuk, hogy figyelembe vesszük, az egyes cellákban álló számok a függőleges, illetve vízszintes összeolvasásnál milyen helyiértéken szerepelnek:

A lehető legkisebb számot úgy fogjuk kapni, hogy ha minél nagyobb szorzó mellé minél kisebb számot teszünk, azaz a táblázatot pl. az alábbi módon töltjük ki:

(a táblázatban az azonos szorzójú helyen álló számok cseréje az összeget változatlanul hagyja)

Így tehát a lehetséges legkisebb összeg 124+368+579+135+267+489=1962. A következő legkisebb összeg előállításához legalább két számot meg kell cserélnünk a táblázatban, és ezek különböző szorzójú helyen kell álljanak. Minden ilyen cserével nő az összeg, és a lehető legkisebb növekedést akkor fogjuk elérni, ha csak két számot cserélünk meg, a többit változatlan helyen hagyjuk. Ha a 200-as szorzójú helyen álló 1-est elcseréljük, akkor a legkisebb változást az eredményezi, ha a 2-essel cseréljük meg, így a változás +200-110=90. Ha a 110-es szorzójú helyen álló számokat akarjuk elcserélni valamelyikkel, akkor a legkisebb változást az hozza, ha a 3-ast a 4-essel cseréljük fel, a változás mértéke +110-101=9. Hasonló módon folytatva a 101-es és 20-as szorzójú 5 és 6 cseréje +101-20=91, a 20-as és 11-es szorzójú 6 és 7 cseréje +20-11=9, a 11-es és 2-es szorzójú 9 és 8 cseréje +11-2=9 változást eredményez az összegben. Tehát a második legkisebb lehetséges összeg 1962+9=1971.

Statistics:

259 students sent a solution.
6 points:	Bende Lilla, Borbély Roland, Csanády Bálint Zsombor, Enyedi Péter, Gila Nóra, Halász 423 Dániel, Halász Dániel, Jászberényi Tünde, Jekkel Dóra, Juhász-Bóka Bernadett, Kántor Brigitta, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Katona Bálint, Kovács 411 Ádám, Kovács Flóra, László József, Ludas Dániel, Major Attila, Nagy 014 Gergely, Nagy 314 Viktor, Ódry Tamás, Pogány László, Samu Viktor, Sándor Tímea, Serfőző Virág Fanni, Stark Ádám, Straubinger Dániel, Szabó 093 Márk Zoltán, Szelestei Zsófia, Szigeti Tamás, Szőts Nóra, Tolnai Dániel, Tóth Balázs, Tőzsér Eszter, Tran Pham Hoang Anh Anna, Vonyó Viola, Weiszenburger Edit, Zagyva Dániel.
5 points:	42 students.
4 points:	42 students.
3 points:	59 students.
2 points:	27 students.
1 point:	28 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008