Problem K. 234. (December 2009)

K. 234. A square is drawn on the outside of each side of a rectangle with given perimeter. What should be the dimensions of the rectangle to minimize the area of the dodecagon obtained?

(6 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A téglalap oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a kerülete állandó: \(\displaystyle 2a+2b=2(a+b)\), tehát \(\displaystyle a+b=s\) is állandó, amiből pl. \(\displaystyle b=s-a\). A területek összege \(\displaystyle 2a^2 + 2(s-a)^2 + a(s-a)= 3a^2- 3sa +2s^2=3(a-\frac 12 s)^2 + \frac 54 s^2\). Ez az összeg egy nemnegatív és egy pozitív tagból áll, ami akkor lesz a legkisebb, ha a nemnegatív tag \(\displaystyle 0\), azaz \(\displaystyle (a-\frac 12 s)=0\). Tehát a tizenkétszög területe akkor lesz minimális, ha a téglalap oldalai \(\displaystyle a=b=\frac 12 s\), vagyis a téglalap egy adott kerületű négyzet.

Statistics:

144 students sent a solution.
6 points:	62 students.
5 points:	4 students.
4 points:	9 students.
3 points:	2 students.
2 points:	14 students.
0 point:	44 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009