Problem K. 245. (February 2010)

K. 245. Solve the following equations, where x and y denote positive prime numbers.

a) xy(x+y)=2010, b) xy(x+y)=2009.

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Mivel \(\displaystyle 2010=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67\) , ezért az \(\displaystyle (x, y)\) számpár lehetséges értékei: (2, 3); (2, 5); (2, 67); (3, 5); (3, 67); (5, 67). A lehetőségeket kipróbálva azt kapjuk, hogy egyik számpár sem megfelelő. Vagyis az egyenletnek nincs megoldása.

\(\displaystyle b)\) Mivel a 2009 páratlan, ezért \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) csak páratlan prímek lehetnek. Ekkor az összegük páros, tehát a bal oldali kifejezés páros, így nem lehet 2009. Tehát nincs megoldás.

Statistics:

129 students sent a solution.
6 points:	59 students.
5 points:	12 students.
4 points:	16 students.
3 points:	18 students.
2 points:	14 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010