Problem K. 246. (February 2010)

K. 246. Four different digits are chosen, and all possible positive four-digit numbers of distinct digits are constructed out of them. The sum of the four-digit numbers is 186 648. What may be the four digits used?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a négy számjegy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Hat olyan négyjegyű szám van, melyben az \(\displaystyle a\) az ezres helyiértéken szerepel:

\(\displaystyle \overline{abcd}, \quad \overline{abdc}, \quad \overline{acbd}, \quad \overline{acdb}, \quad \overline{adbc}, \quad \overline{adcb}.\)

Ugyanígy hatszor szerepel az \(\displaystyle a\) a százasok, tízesek és egyesek helyén is, és ezek a megállapítások mindegyik számjegyre érvényesek. Így amikor összeadjuk a számokat, minden számjegyet minden helyiértéken hatszor adunk össze, tehát a számok összege \(\displaystyle 6666 \cdot (a+b+c+d)\). Emiatt a számjegyek összege 28. A lehetséges számjegynégyesek: {9, 8, 7, 4} vagy {9, 8, 6, 5}.

Statistics:

136 students sent a solution.
6 points:	108 students.
5 points:	1 student.
4 points:	8 students.
3 points:	11 students.
2 points:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010