Problem K. 258. (September 2010)
K. 258. x is a positive integer, and the (positive) fraction can be simplified. How many different values may x have?
(6 pont)
Deadline expired on October 11, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle \frac{1000-x}{1001}\) tört pontosan akkor egyszerűsíthető, ha a számláló \(\displaystyle 1000-x\)-nek és a nevező \(\displaystyle 1001\)-nek van közös 1-nél nagyobb osztója. Mivel \(\displaystyle 1001=7\cdot 11\cdot 13\), ezért az 1-nél nagyobb osztói a \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 13\), \(\displaystyle 77\), \(\displaystyle 91\), \(\displaystyle 143\) és \(\displaystyle 1001\). Mivel \(\displaystyle x\) pozitív, ezért \(\displaystyle 1000-x\) kisebb \(\displaystyle 1001\)-nél, így az nem lehet az osztója.
Az 1000-nél kisebb 7-tel osztható pozitív számok száma (7-től 994-ig) \(\displaystyle 994/7=142\).
Az 1000-nél kisebb 11-gyel osztható pozitív számok száma (11-től 990-ig) \(\displaystyle 990/11=90\).
Az 1000-nél kisebb 13-mal osztható pozitív számok száma (13-tól 988-ig) \(\displaystyle 988/13=76\).
Az 1000-nél kisebb 77-tel osztható pozitív számok száma (77-től 924-ig) \(\displaystyle 924/77=12\).
Az 1000-nél kisebb 91-gyel osztható pozitív számok száma (91-től 910-ig) \(\displaystyle 910/91=10\).
Az 1000-nél kisebb 143-mal osztható pozitív számok száma (143-tól 858-ig) \(\displaystyle 858/143=6\).
Amikor összeszámoltuk a 7-tel vagy a 11-gyel osztható számok számát, akkor mindkét esetben találkoztunk olyanokkal, melyek mindkettővel oszthatóak, azaz 77-tel is. Ugyanezt elmondhatjuk a másik két esetben (7 és 13, ill. 11 és 13) is. Például \(\displaystyle x=76\) esetében a \(\displaystyle 924\)-et a 7-tel osztható és a 11-gyel osztható számok között is megszámoltuk. Az olyan számok száma, melyek csak 7-tel oszthatóak, de 11-gyel nem \(\displaystyle 142-12=130\). Olyan legfeljebb háromjegyű pozitív szám, mely 11-gyel osztható, de 7-tel nem \(\displaystyle 90-12=78\) darab van. Ugyanilyen módon a többi párra is megállapításokat tehetünk.
Mivel \(\displaystyle 7\cdot 11\cdot 13=1001>1000\), egyetlen olyan számunk sem volt, melynek mind a 7, mind a 11 és mind a 13 osztója lett volna egyszerre. Ezért a következő halmazábrát rajzolhatjuk le, mely a különböző halmazok elemszámát tartalmazza:
Az 1000-nél kisebb 1001 1-nél nagyobb osztóival osztható számok összes száma \(\displaystyle 120+72+60+12+10+6=280\).
A halmazábra elkészítése nélkül az ún. logikai szitával kiszámolva (ennek volt képiesített ás illusztrált változata a fenti ábra) a megfelelő számok száma \(\displaystyle 142+91+76-12-10-6+0=280\).
Statistics:
288 students sent a solution. 6 points: 146 students. 5 points: 13 students. 4 points: 8 students. 3 points: 18 students. 2 points: 8 students. 1 point: 64 students. 0 point: 23 students. Unfair, not evaluated: 8 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010