Problem K. 280. (January 2011)
K. 280. Find the smallest natural number of the form 2a3b7c, such that the half of the number is the cube of an integer, one third of the number is the seventh power of an integer, and one seventh of the number is the square of an integer.
(6 pont)
Deadline expired on February 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel a 2, 3, 7 prímek, ezért ha \(\displaystyle N=2^a 3^b 7^c\), akkor \(\displaystyle \frac N2 =2^{a-1} 3^b 7^c=n^3\), melynek prímfelbontásában minden kitevő 3-mal osztható: \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) osztható 3-mal, \(\displaystyle a\) pedig 1 maradékot ad. Ugyanígy \(\displaystyle \frac N3 =2^{a} 3^{b-1} 7^{c}=m^7\) miatt \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) osztható 7-tel, \(\displaystyle b\) pedig 1 maradékot ad. Legvégül \(\displaystyle \frac N7 =2^{a} 3^{b} 7^{c-1}=p^2\), azaz \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) páros, \(\displaystyle c\) páratlan. Tehát \(\displaystyle a\) 7-nek többszöröse és páros: 14, 28, ... és 1 maradékot ad hárommal osztva. Ezért a legkisebb ilyen szám az \(\displaystyle a=28\). Ugyanígy \(\displaystyle b\) 6 többszöröse és 7-tel osztva 1 maradékot ad. A legkisebb ilyen a \(\displaystyle b=36\). Végül \(\displaystyle c\) páratlan, 21-gyel osztható szám. A legkisebb \(\displaystyle c=21\). A feltételeknek megfelelő legkisebb pozitív egész szám az \(\displaystyle N=2^{28}3^{36}7^{21}\).
Statistics:
124 students sent a solution. 6 points: Ábrahám Dénes, Arnold Balázs, Árvay Júlia, Aszalós Eszter, Balogh Tamás, Bodolai Henrietta, Borsos Márton, Daku Gábor, Farkas Dóra, Fáró Jenő, Fehér Szabolcs, Fehér Zsuzsanna, Gosztonyi Dorottya, Gömbös Patrik, Győrfi-Bátori András, Harcsa-Pintér Bálint, Illés 456 Tamás, Kerner Bálint, Kiss 123 Veronika, Kiss 433 Ferenc, Kóródi Brúnó Zoltán, Kovács Bence, Kovács-Deák Máté, Kulcsár Ildikó, Marx Pál Fülöp, Mikecz Márk, Móricz Tamás, Muraközi Zsófia, Nagy 718 Réka, Novográdecz Katalin, Pajor Péter, Rikker Bálint, Sándor Krisztián, Sánta Szilvia, Somogyvári Kristóf, Suhai Kristóf, Szabó 524 Tímea, Székely Ádám, Szelestei Dorottya, Telek Máté László, Tihanyi Dániel, Varkoly Fanni, Vatamány Lóránd, Vörös Zoltán János, Zoltán Éva Berta, Zsíros Szanna. 5 points: 41 students. 4 points: 19 students. 3 points: 6 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011