Problem K. 322. (January 2012)

K. 322. k of the six-digit numbers of the form , and n of the six-digit numbers of the form are divisible by 15. Calculate the ratio .

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \overline{ababab}=10101\cdot\overline{ab}\), és 10101 osztható 3-mal, ezért az \(\displaystyle \overline{ab}\) kétjegyű szám 5-tel osztható. A következő kétjegyű számok vannak: \(\displaystyle 2\cdot5\), \(\displaystyle 3\cdot5\), ..., \(\displaystyle 19\cdot5\), tehát 18 db ilyen szám van. Vagyis \(\displaystyle k = 18\). Mivel \(\displaystyle \overline{abcabc}=1001\cdot\overline{abc}\), ezért az \(\displaystyle \overline{abc}\) háromjegyű számnak 15-tel oszthatónak kell lennie: \(\displaystyle 105=7\cdot15\), \(\displaystyle 120=8\cdot15\), …, \(\displaystyle 990=66\cdot15\). Vagyis \(\displaystyle n=60\). A keresett hányados: \(\displaystyle \frac kn=\frac{18}{60}=\frac{3}{20}\).

Statistics:

150 students sent a solution.
6 points:	Antal Dóra, Asbolt Máté, Bajnok Anna, Belényesi Máté, Császma Péter, Csilling Tamás, Fekete Panna, Fényes Balázs, Fürich Antónia, Görgei Anna Mária, Hartvig Áron, Hauber Júlia, Hegyi Zoltán, Holczer András, Hollós Bálint, Horváth 501 Cintia, Iványi Blanka, Király 719 Ágnes, Kiss Andrea, Kocsis Gábor, Kovács 148 Dávid, Lengyel Ádám, Lőrincz Ádám Sándor, Mándoki Sára, Markó Gergely, Mészáros Gabriella, Molnár 286 Soma, Nagy Ádám, Németh 017 András, Olexó Tünde, Pálinkás Sára, Pap Olivér, Papócsi Petra, Rátky Márton, Réti Anna, Szente Zsófia, Szondy Borbála, Tamás Ambrus, Tari Balázs, Tim Márton, Torma Lili Eszter, Tóth László Gábor, Trinyik Flóra, Vecsernyés Márk, Végner Zoltán, Virágh Anna.
5 points:	19 students.
4 points:	53 students.
3 points:	12 students.
2 points:	8 students.
1 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012