Problem K. 323. (January 2012)

K. 323. The apex angle of the isosceles triangle ABC is 120^o, and the midpoint of base AB is F. The angle bisector of ACF intersects base AB at point H. a) Prove that AH=CH. b) Prove that AH is one-third of the line segment AB.

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Az \(\displaystyle ACF\) szög \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, így az \(\displaystyle ACH\) szög \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os, akárcsak a \(\displaystyle CAH\) szög. Az \(\displaystyle ACH\) tehát egyenlő szárú háromszög, így \(\displaystyle AH = CH\).

b) A \(\displaystyle CHF\) háromszög egy \(\displaystyle 30^{\circ}\)-\(\displaystyle 60^{\circ}\)-\(\displaystyle 90^{\circ}\)-os derékszögű háromszög, melyben \(\displaystyle CH = 2HF\). Mivel \(\displaystyle AH = CH\), ezért \(\displaystyle AH\) az \(\displaystyle AB\) szakasz felének kétharmada, azaz az \(\displaystyle AB\) szakasz harmada. Így \(\displaystyle H\) harmadolópont.

c) Az \(\displaystyle ACD\) háromszög egyenlő szárú, melynek szárszöge \(\displaystyle 150^{\circ}\)-os. Tehát a \(\displaystyle DAC\) és \(\displaystyle ADC\) szögek \(\displaystyle 15^{\circ}\)-osak. A \(\displaystyle BCD\) háromszög is egyenlő szárú, melynek szárszöge \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os. Tehát a \(\displaystyle CDB\) és \(\displaystyle CBD\) szögek \(\displaystyle 45^{\circ}\)-osak. A szögek beírása után megkapjuk a választ: az \(\displaystyle ABD\) háromszög szögei: \(\displaystyle 45^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 60^{\circ}\).

Statistics:

186 students sent a solution.
6 points:	62 students.
5 points:	45 students.
4 points:	29 students.
3 points:	21 students.
2 points:	19 students.
1 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012