Problem K. 326. (February 2012)

K. 326. An interior designer is planning the illumination of a large lecture hall. He is using LEDs (light emitting diodes) arranged in concentric circles. The LEDs are uniformly spaced along each circle. The radius of each circle is the double of the previous circle. If lines are drawn from each lead of a circle through the centre, only every other line will have a LED on the next circle inside. a) Show that the separation of two consecutive LEDs on the same circle, as measured along the circle, is constant (that is, independent of the circle selected). b) Determine this distance (measured along the circle) if the radius of the largest circle is 20 metres, the number of circles is 8, and the 4th smallest circle contains 112 LEDs. c) What is the total number of LEDs used?

(6 pont)

Deadline expired on March 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Vegyünk két szomszédos kört. A megadott adatok alapján a nagyobbik kör sugara, így kerülete is kétszer akkora, viszont kétszerannyi LED van rajta, mint a kisebbik körön, így a szomszédos LED-ek távolsága a nagyobbik körön akkora, mint a kisebbik körön. Ezt folytatva kapjuk, hogy minden körön ugyanakkora a szomszédos LED-ek távolsága.

\(\displaystyle b)\) Ha a 8. kör sugara 20 méter, akkor a körök sugara kintről befelé haladva és cm-ben mérve 2000, 1000, 500, 250, 125. A belülről számított 4. kör sugara tehát 125 cm, kerülete \(\displaystyle \approx785,4\) cm. Mivel itt 112 LED található, ezért két szomszédos LED távolsága ennek 112-ed része, vagyis kerekítve \(\displaystyle 7,01\approx 7\) cm.

\(\displaystyle c)\) Mivel minden körön kétszer annyi LED van, mint az előzőn, ezért a 4. körön 8-szor annyi van, mint az elsőn. Az első körön tehát 14 LED van, így a LED-ek összes száma: \(\displaystyle 14\cdot(1+2+4+8+16+32+64+128) = 14\cdot 255 = 3570\).

Statistics:

141 students sent a solution.
6 points:	Andrási Alex Gyula, Császma Péter, Dombrovszky Borbála, Fülöp Erik, Görgei Anna Mária, Iványi Blanka, Jójárt Alexandra, Kulbert Noémi, Markó Gergely, Máthé Roland, Mészáros Gabriella, Molnár 286 Soma, Nagy Ágnes Judit, Olexó Tünde, Pál Noémi, Rozenberszki Dávid, Ruzicska György, Sipos-Vajda Eszter, Sziegl Benedek, Tar Dávid, Tatár Krisztina, Tim Márton, Tóth László Gábor, Vásárhelyi Bence, Villám Kristóf.
5 points:	47 students.
4 points:	32 students.
3 points:	27 students.
2 points:	7 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012