Problem K. 332. (March 2012)

K. 332. The sum of a few positive integers is 20. Their product is the number X. What is the maximum possible value of X?

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Keressük meg azt az összeget, amelyből kapott szorzat a legnagyobb: induljunk ki néhány számból, melyek összege 20, és módosítsuk egy másik lehetséges összegre úgy, hogy a számok szorzata nagyobb legyen, mint amiből kiindultunk.

Ha a számok között szerepel 10 vagy annál nagyobb, akkor ezt a számot helyettesíthetjük legalább 5 db 2-essel (és szükség esetén egy további 3-assal), melyek szorzata legalább 32, vagyis így biztosan nagyobb szorzat keletkezik.

A 10-nél kisebb számok esetén könnyű megvizsgálni, hogy 2-esekkel és 3-asokkal helyettesítve őket az összeg állandóságát figyelembe véve az így kapott szorzat nem lesz kisebb, mint a helyettesítés előtt volt (1+2 -> 3 (\(\displaystyle 1\cdot 2 < 3\)); 4 -> 2+2 (\(\displaystyle 4=2\cdot 2\)); 5 -> 2+3 (\(\displaystyle 5<2\cdot 3\)); 6 -> 2+2+2 v. 3+3 -> 3+3 (\(\displaystyle 6<2^3<3^2\)); 7 -> 1+3+3 v. 2+2+3 -> 2+2+3 (\(\displaystyle 7<3\cdot 3<2^2 \cdot 3\)); 8 -> 2+3+3 (\(\displaystyle 8< 2\cdot 3^2\)); 9 -> 3+3+3 (\(\displaystyle 9<3^3\))). Elég tehát csak a 2-esekből és 3-asokból álló szorzatok maximumát keresni. Ha szerepel 3 kettes a szorzatban, akkor őket két hármassal helyettesítve az összeg nem változik, de a szorzat nagyobb lesz. Így a maximumot akkor kapjuk, ha 6 db 3-asról, és 1 db 2-esről van szó. X maximuma tehát \(\displaystyle 3^6\cdot 2 = 1458\).

Statistics:

137 students sent a solution.
6 points:	65 students.
5 points:	9 students.
4 points:	13 students.
3 points:	5 students.
2 points:	29 students.
1 point:	10 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012