Problem K. 337. (September 2012)

K. 337. How many five-digit numbers of the form $\overline{abcba}$ are divisible by 45 if a, b and c denote different digits?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 45-tel pontosan akkor osztható egy szám, ha 9-cel és 5-tel osztható. 5-tel pontosan akkor osztható egy szám, ha 5-re vagy 0-ra végződik. Mivel a $\neq$ 0, így a=5. Az eredeti számunk osztható 9-cel, így számjegyeinek összege, 10+2b+c is osztható 9-cel. Mivel 2b+c legnagyobb értéke 27, ezért 10+2b+c lehetséges értékei 18, 27, 36.

I. eset: Ha 2b+c=8, akkor a lehetséges számjegyek:

b	4	3	2	1	0
c	0	2	4	6	8

II. eset: Ha 2b+c=17, akkor a lehetséges számjegyek:

b	8	7	6	5	4
c	1	3	5	7	9

Itt a 6, 5 és 5, 7 párok nem megfelelőek, mert nem lenne minden számjegy különböző.

III. eset: Ha 2b+c=26, akkor a lehetséges számjegyek:

b	9
c	8

Tehát 9 megfelelő ötjegyű szám van.

Statistics:

261 students sent a solution.

6 points: 108 students.

5 points: 43 students.

4 points: 45 students.

3 points: 25 students.

2 points: 18 students.

1 point: 8 students.

0 point: 10 students.

Unfair, not evaluated: 4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012

261 students sent a solution.
6 points:	108 students.
5 points:	43 students.
4 points:	45 students.
3 points:	25 students.
2 points:	18 students.
1 point:	8 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?