Problem K. 346. (October 2012)

K. 346. From the third term onwards, the terms of a sequence are obtained by subtracting from the previous term the term preceding that. (Thus the third term = the second term - the first term, the fourth term = the third term - the second term, and so on.) The first term is 2, the sum of the first 2012 terms is 2012. What is the second term?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sorozat második tagját jelölje \(\displaystyle b\), az első tag 2. A sorozat képzési szabálya alapján a sorozat tagjai: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle b – 2\), \(\displaystyle b – 2 – b = –2\), \(\displaystyle –2 – (b – 2) = –b\), \(\displaystyle –b – (–2) = –b + 2\), \(\displaystyle –b + 2 – (–b) = 2\), \(\displaystyle 2 – (–b + 2) = b\), és innen már jól látszik, hogy a sorozat első 6 tagja fog ismétlődni. A hat folyamatosan ismétlődő szám összege 0, ebből adódóan az első 2010 tag összege is 0. A sorozat első 2012 tagjának összege tehát a 2011. és 2012. tag összege, ami \(\displaystyle 2+b = 2012\), tehát a sorozat második tagja \(\displaystyle b = 2010\).

Statistics:

180 students sent a solution.
6 points:	83 students.
5 points:	23 students.
4 points:	14 students.
3 points:	10 students.
2 points:	13 students.
1 point:	11 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	13 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012