Problem K. 393. (November 2013)

K. 393. Consider a product whose factors are all 7. Is it possible that the result is a 45-digit number in which the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 occur 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 times, respectively?

(6 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ebben a 45 jegyű számban a számjegyek összege:

\(\displaystyle 9\cdot1+8\cdot2+7\cdot3+6\cdot4+5\cdot5+4\cdot6+3\cdot7+2\cdot8+1\cdot9=9+16+21+24+25+24+21+16+9=165.\)

Mivel a számjegyek összege osztható 3-mal, ezért az eredeti számnak is oszthatónak kellene lenni 3-mal. De ez lehetetlen, mert az eredeti szorzat minden tényezője 7, és a 3 meg a 7 relatív prímek.

Vagyis ilyen 45 jegyű számot nem kaphatunk.

Statistics:

137 students sent a solution.
6 points:	Babotán Márk, Banczik Zoltán Ádám, Békési Gergő Bendegúz, Bérdi Dorottya, Böndör Dániel, Csányi Dávid , Csapó Márton, Di Giovanni András, Döbröntei Dávid Bence, Erdélyi Janka, Fehér Aliz, Frim Levente, Gera Dóra, György Levente, Horváth 999 Viktória, Jakus Balázs István, Juhász 137 Szabolcs, Kamuti Harmat, Kedves Emerencia, Keresztes László, Király 106 Fanni, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kovács Iván, Kovács Máté Barnabás, Mándoki László, Márton 654 Dávid, Mikulás Hanna, Moró Balázs, Nagy Csongor, Nguyen Nhat Minh, Nier Máté, Sebestény Márton, Souly Alexandra, Szalay Dorottya, Szondy Dániel, Tatai Mihály, Temesvári Máté, Tevesz Judit, Turi Soma, Varró Tamás Bence, Zsombó István.
5 points:	20 students.
4 points:	21 students.
3 points:	25 students.
2 points:	16 students.
1 point:	10 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013