Problem K. 521. (November 2016)

K. 521. In a running race, each participating school entered four runners. Andrew, Ben, Charlie and Dennis were the runners from one school. Andrew finished in the best place out of the four: he finished in the first quarter of all runners participating. Ben came in 18th, followed by Charlie, who was beaten by more than four times as many runners as Andrew. Dennis came in last of the four of them: he finished in the 59th place. How many schools entered students in the running race?

(6 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a négy gyerek helyezését rendre \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a<b<c<d\), \(\displaystyle a\leq17\), \(\displaystyle b=18\), \(\displaystyle 4(a-1)<c-1\) és \(\displaystyle d=59\).

A \(\displaystyle 4(a-1)< c-1\) feltételt felhasználva a következő táblázatot tudjuk kitölteni András és Csaba lehetséges helyezéseiről:

Mivel András a versenyzők első negyedében végzett, ezért helyezési száma legfeljebb 17, mert Berci előtt végzett. Berci a 18., ő már nincs az első negyedben, tehát a versenyzők száma legfeljebb \(\displaystyle 4\cdot17=68\). Ha András 17. lenne, akkor 16 versenyző előzte volna meg. Csabát ekkor legalább 65-en előzték meg, de ez nem lehet, mert ekkor Dénes nem lehetne 59. helyezett. Hasonló lenne a helyzet, ha András 16. lenne, ekkor Csabát legalább 61-en előzték volna meg, és ez sem lehetséges. Ha András 15. lett, akkor 14-en előzték meg, Csabát tehát legalább 57-en. Ez éppen lehetséges, ekkor Csaba 58. lett, Dénes pedig mögötte 59. Ebben az esetben a versenyzők száma legalább 60, ez 15 résztvevő iskolát jelent. 64 versenyző esetén 16, 68 esetén pedig 17 iskola tanulói vettek részt a versenyen.

A feladat szövege sajnos nem egyértelmű. Ha nem vesszük a feltételek közé azt, hogy csak András végzett az első negyedben, akkor a válasz a kérdésre az, hogy legalább 15 iskola tanulói vehettek részt a versenyben.

Statistics:

85 students sent a solution.
6 points:	Bottlik Domonkos, Bödő Lajos, Cseh Dániel, Csikós Patrik, Csótai Enikő, Demcsák Ágnes, Espán Márton, Horváth 237 Lili, Juhász 315 Dorka, Kiss 014 Dávid, Kovács Fruzsina Dóra, Kozák 023 Balázs, Merkl Levente, Rem Soma, Szajkó Bence Gergő, Tornyi Napsugár, Vass Erik Márk, Vincze Lilla, Viola Veronika.
5 points:	Czett Mátyás, Potocnik Marcel, Rusvai Miklós.
4 points:	21 students.
2 points:	8 students.
1 point:	31 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016