Problem K. 533. (January 2017)

K. 533. May the sum of the squares of four consecutive natural numbers be a perfect square?

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Négy szomszédos természetes szám 4-es maradéka (a számok növekvő sorrendjében) lehet 0, 1, 2, 3; 1, 2, 3, 0; 2, 3, 0, 1 vagy 3, 0, 1, 2. A négyzetük összegének 4-es maradéka tehát mindenképpen \(\displaystyle 0^2+1^2+2^2+3^2=14\)-nek a 4-es maradékával egyezik meg, vagyis 2.

Azonban ha egy négyzetszám 2-vel osztható, akkor 4-gyel is osztható, azaz 2 maradékot nem adhat 4-gyel osztva.

Tehát nem lehet négy szomszédos természetes szám négyzetösszege négyzetszám.

Statistics:

79 students sent a solution.
6 points:	Bérczi Péter, Cseh Dániel, Csikós Patrik, Csótai Enikő, Demcsák Ágnes, Espán Márton, Falvay Júlia, Fazekas 5 Zsófia, Gém Viktória, Görgei Botond Péter, Halász 237 Lajos, Horváth 237 Lili, Juhász 315 Dorka, Kis 194 Károly, Kocsor Dániel, Kovács 124 Kinga, Kovács Fruzsina Dóra, Kozák 023 Áron, Lockár Miklós, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Mendei Barna, Merkl Levente, Paróczai Anett, Pásti Bence, Rátki Luca, Réz 426 Dávid, Rusvai Miklós, Szabó 808 Álmos Levente, Szilágyi Anna Sára, Szirtes Botond, Túri Zoltán, Varga-Balázs Kristóf, Vincze Lilla.
5 points:	Bárczi Enikő Anna, Német Franciska, Pálfi Bálint, Szajkó Bence Gergő, Székelyhidi Klára, Szemerédi Előd, Tornyi Napsugár, Veres Kristóf.
4 points:	7 students.
3 points:	8 students.
2 points:	5 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	15 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017