Problem P. 4856. (September 2016)
P. 4856. A heavy object is projected upward at an initial speed of \(\displaystyle v_0\). What should the initial speed of another object projected upward \(\displaystyle \Delta t\) time later be in order that the two objects meet while the first one
\(\displaystyle a)\) is still ascending;
\(\displaystyle b)\) is at the highest point;
\(\displaystyle c)\) is descending?
\(\displaystyle d)\) What should the initial speed of the second object be in order that the descending first object meets the second one while the second one is ascending, is stationary, or is descending?
Data: \(\displaystyle v_0=5.0\) m/s, \(\displaystyle \Delta t=0.3\) s. (Air drag is negligible.)
(4 pont)
Deadline expired on October 10, 2016.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a második test kezdősebességét \(\displaystyle u_0\)-lal és a találkozásig eltelt időt (az első test indításától számítva) \(\displaystyle t\)-vel! Felírhatjuk, hogy
\(\displaystyle v_0t-\frac{g}{2}t^2=u_0(t-\Delta t)-\frac{g}{2}(t-\Delta t)^2,\)
vagyis
\(\displaystyle t=\frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t.\)
Válaszoljunk először a \(\displaystyle b)\) kérdésre! Ha a fenti \(\displaystyle t\) idő éppen \(\displaystyle v_0/g\)-vel egyenlő, akkor az első test legmagasabb helyzeténél találkoznak.
\(\displaystyle \frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t=\frac{v_0}{g},\)
innen
\(\displaystyle u_0=\frac{v_0^2+\tfrac12(g\Delta t)^2-v_0g\Delta t}{v_0-g\Delta t}=7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}. \)
\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle u_0>7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}\), akkor a találkozás pillanatában az első test még emelkedik.
\(\displaystyle c)\) Amennyiben \(\displaystyle u_0<7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}\), úgy a második test már lefelé mozog a találkozáskor, feltéve, hogy az egyáltalán bekövetkezik. Ehhez teljesülnie kell a \(\displaystyle t>0\) feltételnek is, vagyis annak, hogy
\(\displaystyle u_0>v_0-g\Delta t=2{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
\(\displaystyle d)\) Határesetben, amikor a második test pillanatnyi nyugalmi helyzetében történik a találkozás:
\(\displaystyle t=\Delta t+\frac{u_0}{g},\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t=\Delta t+\frac{u_0}{g}.\)
Ebből az egyenletből a második test kezdősebességére \(\displaystyle u_0=4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}\) adódik.
Ha
\(\displaystyle 2{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}<u_0<4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}, \)
akkor a második test már lefelé mozog a találkozáskor, ha viszont
\(\displaystyle 4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}<u_0<7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}, \)
akkor még emelkedik.
Statistics:
125 students sent a solution. 4 points: Barabás Péter, Facskó Benedek, Fehér 169 Szilveszter, Pécsi 117 Ildikó, Weisz Máté. 3 points: 63 students. 2 points: 42 students. 1 point: 14 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, September 2016